Calcule a integral
onde é o semicírculo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
onde é o semicírculo definido por e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente em coordenadas polares, que são bem úteis para regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e usar algumas substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares . As relações entre elas são:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Isso simplifica a nossa integral, especialmente porque estamos lidando com um semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Sabemos que , então a função dentro da integral fica . A região é um semicírculo de raio , então os limites de integração para vão de 0 até e para vão de 0 até (já que é apenas a metade superior do círculo).
A integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a :
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Calcule a integral
onde é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .
Calcule
onde é o tetraedro delimitado pelos planos: