Calcule a integral
integral duplaB sen(x^2+y^2) d A
onde B é o semicírculo x^2+y^2 <= 2 alpha e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
integral duplaB sin(x^2+y^2) dA
onde é o semicírculo definido por e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente em coordenadas polares, que são bem úteis para regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e usar algumas substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas x = r costheta, y = r sintheta para coordenadas polares dA = r , dr , dtheta . As relações entre elas são:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Isso simplifica a nossa integral, especialmente porque estamos lidando com um semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Sabemos que integral0^pi integral0^raiz2alpha sin(r^2) cdot r , dr , dtheta , então a função dentro da integral fica . A região é um semicírculo de raio , então os limites de integração para vão de 0 até e para vão de 0 até (já que é apenas a metade superior do círculo).
A integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a integral0^raiz2alpha sin(r^2) cdot r , dr :
u = r^2 Rightarrow du = 2r , dr Rightarrow r , dr = du2
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar. Seja:
12 integral0^2alpha sin(u) , du
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos 12 [ -cos(u) ]0^2alpha = 12 ( -cos(2alpha) + cos(0) ) = 12 ( 1 - cos(2alpha) ) em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi 12 (1 - cos(2alpha)) dtheta = 12 (1 - cos(2alpha)) integral0^pi dtheta = 12 (1 - cos(2alpha)) cdot pi

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi2 (1 - cos(2alpha))

Exercícios relacionados