Calcule a integral
onde
é o semicírculo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
onde
é o semicírculo definido por
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente em coordenadas polares, que são bem úteis para regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e usar algumas substituições para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. As relações entre elas são:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Isso simplifica a nossa integral, especialmente porque estamos lidando com um semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Sabemos que
, então a função dentro da integral fica
. A região
é um semicírculo de raio
, então os limites de integração para
vão de 0 até
e para
vão de 0 até
(já que é apenas a metade superior do círculo).
A integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a
:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 6
Finalmente, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Calcule
onde
é o tetraedro delimitado pelos planos: