Calcule a integral
integral triplaE raizx^2+y^2 d V
onde E é a região delimitada pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=alpha.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV
onde é a região limitada pelo paraboloide e pelo plano .
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a expressão e as superfícies dadas possuem simetria circular.

Passo 2

Nas coordenadas cilíndricas, fazemos as seguintes substituições:
E o elemento de volume se transforma em .
Além disso, se torna simplesmente .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • varia de até onde o paraboloide alcança o plano . Como , quando , temos .
  • varia do paraboloide até o plano .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
integral0^2pi integral0^raizalpha integralr^2^alpha r cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, o primeiro vem de que se transformou em , e o segundo vem do elemento de volume .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^2pi integral0^raizalpha integralr^2^alpha r^2 , dz , dr , dtheta
Agora, começamos a integrar em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a integralr^2^alpha r^2 , dz = r^2 ( alpha - r^2 ) = r^2 alpha - r^4 :
integral0^2pi integral0^raizalpha (r^2 alpha - r^4) , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^raizalpha r^2 alpha , dr = alpha [ r^33 ]0^raizalpha = alpha cdot (raizalpha)^33 = alpha cdot alpha^3/23 = alpha^5/23 :
Primeiro, a integral de integral0^raizalpha r^4 , dr = [ r^55 ]0^raizalpha = (raizalpha)^55 = alpha^5/25 em relação a alpha^5/23 - alpha^5/25 = alpha^5/2 ( 13 - 15 ) = alpha^5/2 cdot 215 = 2 alpha^5/215 :
Segundo, a integral de em relação a :
Subtraindo as duas partes:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 2 alpha^5/215 , dtheta = 2 alpha^5/215 cdot 2pi = 4 pi alpha^5/215 :

Resposta

A integral tripla vale
4 pi alpha^5/215

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