Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a expressão
e as superfícies dadas possuem simetria circular.
Passo 2
Nas coordenadas cilíndricas, fazemos as seguintes substituições:
E o elemento de volume
se transforma em
.
Além disso,
se torna simplesmente
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a para cobrir toda a circunferência. -
varia de até onde o paraboloide alcança o plano . Como , quando , temos . -
varia do paraboloide até o plano .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
Aqui, o primeiro
vem de
que se transformou em
, e o segundo
vem do elemento de volume
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, começamos a integrar em relação a
.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Primeiro, a integral de
em relação a
:
Segundo, a integral de
em relação a
:
Subtraindo as duas partes:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale