Construa o gráfico das funções dadas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos construir o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para desenhar o gráfico, a gente vai precisar identificar alguns pontos importantes como assíntotas, interceptações e o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interceptação com o eixo y, que acontece quando . Substituindo na função:
Então, a função cruza o eixo y no ponto .

Passo 3

Agora, vamos achar a interceptação com o eixo x, que ocorre quando . Para isso, igualamos o numerador a zero:
Portanto, a função cruza o eixo x em .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. Primeiro, a assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero:
Assim, temos uma assíntota vertical em .

Passo 5

Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito. Como os graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes:
Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Plota-se o ponto no eixo y.
  • Plota-se o ponto no eixo x.
  • Desenha-se a linha vertical em como assíntota vertical.
  • Desenha-se a linha horizontal em como assíntota horizontal.
  • Analisa-se o comportamento da função para próximo das assíntotas e desenha-se as curvas que se aproximam dessas linhas.

Resposta

O gráfico da função possui uma interceptação no ponto , interceptação no eixo y em , uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . O esboço do gráfico segue esses pontos e assíntotas, mostrando o comportamento da função em torno dessas áreas.

Exercícios relacionados

Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Assíntota(s), se existirem, das funções dadas abaixo:
Calcule a integral
onde é o semicírculo e .
Calcule a integral
onde é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .