Calcule
onde
é o tetraedro delimitado pelos planos:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla
onde
é o tetraedro limitado pelos planos
,
,
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais triplas em cálculo multivariado, especificamente integrando uma função sobre uma região tridimensional limitada por planos.
O que vamos precisar: Precisamos entender como definir os limites de integração para
,
e
dentro do tetraedro
e saber como calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O tetraedro é delimitado pelos planos:
-
: plano vertical paralelo ao eixo - . -
: plano vertical paralelo ao eixo - . -
: plano do solo. -
: um plano inclinado que corta os eixos , e .
Passo 3
Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
-
Limites para
: O plano estabelece que começa em 1. O ponto onde intersecta o eixo (quando e ) é . Então, varia de 1 a . -
Limites para
: Para um dado , o plano estabelece que começa em 1. O ponto onde intersecta o eixo (quando ) é . Então, varia de 1 a . -
Limites para
: Para dados e , começa em 0 e vai até .
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:
Passo 5
Vamos resolver a integral começando pela variável
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Deixe:
Quando
,
.
Quando
,
.
Reescrevendo a integral:
Portanto, a integral agora é:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos fazer outra substituição:
Quando
,
.
Quando
,
.
Reescrevendo a integral:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é
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Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Calcule a integral
onde
é o semicírculo
e
.
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: