Calcule
integral triplaE z d V
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos:
x=1, y=1, z=0 e x+y+z=3+alpha

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla
integral triplaE z , dV
onde é o tetraedro limitado pelos planos , , e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais triplas em cálculo multivariado, especificamente integrando uma função sobre uma região tridimensional limitada por planos.
O que vamos precisar: Precisamos entender como definir os limites de integração para , e dentro do tetraedro e saber como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . O tetraedro é delimitado pelos planos:
  • : plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : plano do solo.
  • : um plano inclinado que corta os eixos , e .

Passo 3

Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites de integração para , e .
  1. Limites para : O plano estabelece que começa em 1. O ponto onde intersecta o eixo (quando e ) é . Então, varia de 1 a .
  2. Limites para : Para um dado , o plano estabelece que começa em 1. O ponto onde intersecta o eixo (quando ) é . Então, varia de 1 a .
  3. Limites para : Para dados e , começa em 0 e vai até .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:
integral triplaE z , dV = integralx=1^2+alpha integraly=1^3+alpha - x integralz=0^3+alpha - x - y z , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral começando pela variável integralz=0^3+alpha - x - y z , dz = [ 12 z^2 ]0^3+alpha - x - y = 12 (3+alpha - x - y)^2 :
integral triplaE z , dV = integralx=1^2+alpha integraly=1^3+alpha - x 12 (3+alpha - x - y)^2 , dy , dx
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integraly=1^3+alpha - x 12 (3+alpha - x - y)^2 , dy :
u = 3+alpha - x - y du = -dy
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Deixe:
12 integralu=2+alpha - x^0 u^2 (-du) = 12 integral0^2+alpha - x u^2 , du = 12 [ u^33 ]0^2+alpha - x = 16 (2+alpha - x)^3
Quando integral triplaE z , dV = integralx=1^2+alpha 16 (2+alpha - x)^3 , dx , .
Quando , .
Reescrevendo a integral:
Portanto, a integral agora é:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integralx=1^2+alpha 16 (2+alpha - x)^3 , dx :
v = 2+alpha - x dv = -dx
Vamos fazer outra substituição:
16 integralv=1+alpha^0 v^3 (-dv) = 16 integral0^1+alpha v^3 , dv = 16 [ v^44 ]0^1+alpha = 124 (1+alpha)^4
Quando , .
Quando , .
Reescrevendo a integral:

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é
integral triplaE z , dV = (1+alpha)^424

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