Calcule
onde é o tetraedro delimitado pelos planos:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla
onde é o tetraedro limitado pelos planos , , e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais triplas em cálculo multivariado, especificamente integrando uma função sobre uma região tridimensional limitada por planos.
O que vamos precisar: Precisamos entender como definir os limites de integração para , e dentro do tetraedro e saber como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . O tetraedro é delimitado pelos planos:
  • : plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : plano do solo.
  • : um plano inclinado que corta os eixos , e .

Passo 3

Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites de integração para , e .
  1. Limites para : O plano estabelece que começa em 1. O ponto onde intersecta o eixo (quando e ) é . Então, varia de 1 a .
  2. Limites para : Para um dado , o plano estabelece que começa em 1. O ponto onde intersecta o eixo (quando ) é . Então, varia de 1 a .
  3. Limites para : Para dados e , começa em 0 e vai até .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:

Passo 5

Vamos resolver a integral começando pela variável :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Deixe:
Quando , .
Quando , .
Reescrevendo a integral:
Portanto, a integral agora é:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos fazer outra substituição:
Quando , .
Quando , .
Reescrevendo a integral:

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é

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