Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos construir o gráfico da função
. Esse exercício está relacionado à matéria de funções polinomiais, especificamente funções cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar identificar pontos-chave como interceptos, comportamento da função em diferentes intervalos e suas características gerais, como crescimento ou decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como
é um polinômio, o domínio é todos os números reais. Ou seja, podemos calcular
para qualquer valor de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, que são os pontos onde o gráfico corta os eixos
e
.
Intercepto com o eixo y:
Para encontrar o intercepto com o eixo , calculamos
:
Para encontrar o intercepto com o eixo
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar os interceptos com o eixo , resolvemos
:
Para encontrar os interceptos com o eixo
Isso nos dá duas soluções:
A equação
não possui soluções reais, então o único intercepto com o eixo
é
, que já identificamos anteriormente como
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função, ou seja, onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, calculamos a derivada da função:
A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Observando
, vemos que
é sempre positivo ou zero, e somando 1, sempre teremos
. Isso significa que a função está sempre crescente para todo
real. Não há máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Vamos investigar o comportamento assintótico, ou seja, como a função se comporta quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
- Quando
:
- Quando
:
Então, a função cresce para
quando
cresce para
e decresce para
quando
cresce para
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função passa pela origem
. - Está sempre crescendo, sem pontos de máximo ou mínimo.
- Conforme
se torna muito grande positivamente, tende a e, se se torna muito grande negativamente, tende a .
Isso resulta em uma curva cúbica típica, que tem uma forma de “S” alongado, passando pela origem e se estendendo para os quadrantes I e III do plano cartesiano.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva cúbica que passa pela origem, está sempre crescendo sem pontos de máximo ou mínimo, e se estende para
quando
tende a
e para
quando
tende a
. A forma geral lembra um “S” alongado no plano cartesiano.