Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
f(x) = x^3 + x

Passo 1

Beleza, vamos construir o gráfico da função . Esse exercício está relacionado à matéria de funções polinomiais, especificamente funções cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar identificar pontos-chave como interceptos, comportamento da função em diferentes intervalos e suas características gerais, como crescimento ou decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como é um polinômio, o domínio é todos os números reais. Ou seja, podemos calcular para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, que são os pontos onde o gráfico corta os eixos e .
Intercepto com o eixo y:
Para encontrar o intercepto com o eixo , calculamos :
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar os interceptos com o eixo , resolvemos :
Isso nos dá duas soluções:
A equação não possui soluções reais, então o único intercepto com o eixo é , que já identificamos anteriormente como .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função, ou seja, onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, calculamos a derivada da função:
A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.
Observando , vemos que é sempre positivo ou zero, e somando 1, sempre teremos . Isso significa que a função está sempre crescente para todo real. Não há máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Vamos investigar o comportamento assintótico, ou seja, como a função se comporta quando tende ao infinito positivo ou negativo.
  • Quando :
  • Quando :
Então, a função cresce para quando cresce para e decresce para quando cresce para .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função passa pela origem .
  • Está sempre crescendo, sem pontos de máximo ou mínimo.
  • Conforme se torna muito grande positivamente, tende a e, se se torna muito grande negativamente, tende a .
Isso resulta em uma curva cúbica típica, que tem uma forma de “S” alongado, passando pela origem e se estendendo para os quadrantes I e III do plano cartesiano.

Resposta

O gráfico da função é uma curva cúbica que passa pela origem, está sempre crescendo sem pontos de máximo ou mínimo, e se estende para quando tende a e para quando tende a . A forma geral lembra um “S” alongado no plano cartesiano.

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