Calcule a integral
onde
é o semicírculo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o semicírculo definido por
e
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e, pra facilitar, vamos usar coordenadas polares. Então, o conteúdo que vamos precisar é de cálculo em coordenadas polares e integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
. A função que vamos integrar,
, vira
, porque
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
é um semicírculo de raio 2 e
,
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
(já que cobrimos apenas a metade de cima do círculo). Então, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.
Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
Calcule
onde
é o tetraedro delimitado pelos planos: