Calcule a integral
onde é o semicírculo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla de sobre a região , que é o semicírculo definido por e . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e, pra facilitar, vamos usar coordenadas polares. Então, o conteúdo que vamos precisar é de cálculo em coordenadas polares e integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área se transforma em . A função que vamos integrar, , vira , porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como é um semicírculo de raio 2 e , varia de 0 a 2 e varia de 0 a (já que cobrimos apenas a metade de cima do círculo). Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

A integral vale .

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Calcule a integral
onde é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano
Calcule
onde é o tetraedro delimitado pelos planos: