Calcule a integral
integral duplaB sen(x^2+y^2) d A
onde B é o semicírculo x^2+y^2 <= 4 e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla de sobre a região , que é o semicírculo definido por e . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e, pra facilitar, vamos usar coordenadas polares. Então, o conteúdo que vamos precisar é de cálculo em coordenadas polares e integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área se transforma em . A função que vamos integrar, , vira , porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como integral duplaB sin(x^2 + y^2) , dA = integral0^pi integral0^2 sin(r^2) , r , dr , dtheta é um semicírculo de raio 2 e , varia de 0 a 2 e varia de 0 a (já que cobrimos apenas a metade de cima do círculo). Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 sin(r^2) , r , dr :
12 integral0^4 sin(u) , du = 12 [-cos(u)]0^4 = 12 [-cos(4) + cos(0)] = 1 - cos(4)2
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi 1 - cos(4)2 , dtheta = 1 - cos(4)2 cdot pi = pi2 (1 - cos(4)) :

Resposta

A integral vale .

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