Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função sujeita à restrição . Isso faz parte do estudo de otimização usando Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar os extremos de uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, eles ajudam a encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos, considerando a restrição dada. A ideia é que no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar é paralelo ao gradiente da restrição.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange, que combina nossa função original e a restrição multiplicada por um multiplicador . A fórmula fica assim:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 5

Vamos simplificar as equações derivadas. Primeiro, observamos que se , podemos dividir a primeira equação por :
Fazendo o mesmo para as outras duas equações:

Passo 6

Como todas as expressões para são iguais, podemos igualá-las entre si:
Isso implica que , e . Logo, temos que .

Passo 7

Como , podemos chamar cada um desses quadrados de . Então:
Substituindo na restrição :
Então, .

Passo 8

Agora, encontramos os valores de , , :

Passo 9

Vamos calcular o valor da função nesses pontos:
Isso vale para todas as combinações de sinais, já que estamos elevando ao quadrado.

Resposta

Os valores máximo e mínimo da função sujeitos à restrição são .

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