Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
sujeita à restrição
. Isso faz parte do estudo de otimização usando Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar os extremos de uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, eles ajudam a encontrar os pontos onde a função
tem máximos ou mínimos, considerando a restrição dada. A ideia é que no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar é paralelo ao gradiente da restrição.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange, que combina nossa função original e a restrição multiplicada por um multiplicador
. A fórmula fica assim:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 5
Vamos simplificar as equações derivadas. Primeiro, observamos que se
, podemos dividir a primeira equação por
:
Fazendo o mesmo para as outras duas equações:
Passo 6
Como todas as expressões para
são iguais, podemos igualá-las entre si:
Isso implica que
,
e
. Logo, temos que
.
Passo 7
Como
, podemos chamar cada um desses quadrados de
. Então:
Substituindo na restrição
:
Então,
.
Passo 8
Agora, encontramos os valores de
,
,
:
Passo 9
Vamos calcular o valor da função
nesses pontos:
Isso vale para todas as combinações de sinais, já que estamos elevando ao quadrado.
Resposta
Os valores máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição
são
.
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e pelos três planos coordenados.
Calcule a integral
onde
é o semicírculo
e
.
Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano