Calcule a integral
integral triplaE raizx^2+y^2 d V
onde E é a região delimitada pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV
onde a região é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a posição de um ponto no espaço é dada por x = r costheta, y = r sintheta, z = z , onde:
  • dV = r , dr , dtheta , dz é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
A conversão das coordenadas cartesianas para cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região r^2 = 2 implies r = raiz2 em coordenadas cilíndricas.
A função vira simplesmente em coordenadas cilíndricas.
Agora, a região é delimitada por:
  • O paraboloide , que em cilíndricas é ,
  • O plano .
Então, os limites para são de até .
Para , vamos determinar até onde ele vai. No ponto onde o paraboloide encontra o plano:
E varia de a para cobrir toda a volta.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^2 r cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, ficamos com:
integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^2 r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a integralr^2^2 r^2 , dz = r^2 cdot (2 - r^2) = 2r^2 - r^4 primeiro:
integral0^2pi integral0^raiz2 (2r^2 - r^4) , dr , dtheta
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, integremos em relação a integral0^raiz2 (2r^2 - r^4) , dr = 2 cdot r^33 - r^55 g|0^raiz2 :
2 cdot (raiz2)^33 - (raiz2)^55 = 2 cdot 2raiz23 - 4raiz25 = 4raiz23 - 4raiz25
Calculando para 4raiz23 - 4raiz25 = 4raiz2 ( 13 - 15 ) = 4raiz2 cdot 215 = 8raiz215 :
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^2pi 8raiz215 , dtheta = 8raiz215 cdot 2pi = 16piraiz215 :

Resposta

O valor da integral é .

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