Calcule a integral
onde é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
onde a região é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a posição de um ponto no espaço é dada por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
A conversão das coordenadas cartesianas para cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região em coordenadas cilíndricas.
A função vira simplesmente em coordenadas cilíndricas.
Agora, a região é delimitada por:
  • O paraboloide , que em cilíndricas é ,
  • O plano .
Então, os limites para são de até .
Para , vamos determinar até onde ele vai. No ponto onde o paraboloide encontra o plano:
E varia de a para cobrir toda a volta.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, ficamos com:

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, integremos em relação a :
Calculando para :
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    d)