onde é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
onde a região é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a posição de um ponto no espaço é dada por , onde:
é a distância do ponto até o eixo ,
é o ângulo em torno do eixo ,
é a altura do ponto.
A conversão das coordenadas cartesianas para cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 3
Vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região em coordenadas cilíndricas.
A função vira simplesmente em coordenadas cilíndricas.
Agora, a região é delimitada por:
O paraboloide , que em cilíndricas é ,
O plano .
Então, os limites para são de até .
Para , vamos determinar até onde ele vai. No ponto onde o paraboloide encontra o plano:
E varia de a para cobrir toda a volta.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas: