Calcule
onde
é o tetraedro delimitado pelos planos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é um tetraedro limitado pelos planos
,
,
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração para
,
e
e como configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro
. Ele é limitado pelos planos:
-
: um plano vertical paralelo ao eixo - . -
: outro plano vertical paralelo ao eixo - . -
: o plano do chão, ou seja, o plano . -
: um plano inclinado que corta os eixos.
Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar as interseções desses planos.
Passo 3
Vamos determinar os limites para
. O valor mínimo de
é 0 (do plano
) e o valor máximo vem do plano inclinado
. Isolando
, temos:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para
. Sabemos que
(do plano
). Além disso, para que
, temos:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Por fim, determinamos os limites para
. Sabemos que
(do plano
). Além disso, considerando
, substituindo na condição
:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
Com os limites de integração definidos, a integral tripla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral passa a ser:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites de
vão de
a
. Resolvendo, obtemos:
Então, a integral fica:
Passo 9
Finalmente, resolvemos a integral em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites de
vão de
a
. Resolvendo, obtemos:
Como estamos calculando uma área, o valor negativo indica apenas a direção da integração. Portanto, o valor absoluto é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
Calcule a integral
onde
é o semicírculo
e
.
Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
d)
Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
a)