Calcule
integral triplaE z d V
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos:
x=1, y=1, z=0 e x+y+z=3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é um tetraedro limitado pelos planos , , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração para , e e como configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Ele é limitado pelos planos:
  • : um plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : outro plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : o plano do chão, ou seja, o plano .
  • : um plano inclinado que corta os eixos.
Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar as interseções desses planos.

Passo 3

Vamos determinar os limites para z = 5 - x - y . O valor mínimo de é 0 (do plano ) e o valor máximo vem do plano inclinado . Isolando , temos:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para 5 - x - y >= 0 implies y <= 5 - x . Sabemos que (do plano ). Além disso, para que , temos:
Então, varia de a .

Passo 5

Por fim, determinamos os limites para 1 <= 5 - x implies x <= 4 . Sabemos que (do plano ). Além disso, considerando , substituindo na condição :
Então, varia de a .

Passo 6

Com os limites de integração definidos, a integral tripla fica:
integral triplaE z , dV = integralx=1^4 integraly=1^5 - x integralz=0^5 - x - y z , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a integral0^5 - x - y z , dz = [ 12 z^2 ]0^5 - x - y = 12 (5 - x - y)^2 :
integral1^4 integral1^5 - x 12 (5 - x - y)^2 , dy , dx
Então, a integral passa a ser:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a integral1^5 - x 12 (5 - x - y)^2 , dy :
12 [ -13 u^3 ]4 - x^0 = 16 (4 - x)^3
Fazendo a substituição integral1^4 16 (4 - x)^3 , dx , , os limites de vão de a . Resolvendo, obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em relação a 16 integral1^4 (4 - x)^3 , dx :
16 [ 14 v^4 ]3^0 = 124 (0 - 81) = -8124 = -278
Fazendo a substituição , , os limites de vão de a . Resolvendo, obtemos:
Como estamos calculando uma área, o valor negativo indica apenas a direção da integração. Portanto, o valor absoluto é .

Resposta

integral triplaE z , dV = 278

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