Calcule
onde é o tetraedro delimitado pelos planos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é um tetraedro limitado pelos planos , , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração para , e e como configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Ele é limitado pelos planos:
  • : um plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : outro plano vertical paralelo ao eixo - .
  • : o plano do chão, ou seja, o plano .
  • : um plano inclinado que corta os eixos.
Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar as interseções desses planos.

Passo 3

Vamos determinar os limites para . O valor mínimo de é 0 (do plano ) e o valor máximo vem do plano inclinado . Isolando , temos:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para . Sabemos que (do plano ). Além disso, para que , temos:
Então, varia de a .

Passo 5

Por fim, determinamos os limites para . Sabemos que (do plano ). Além disso, considerando , substituindo na condição :
Então, varia de a .

Passo 6

Com os limites de integração definidos, a integral tripla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral passa a ser:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Fazendo a substituição , , os limites de vão de a . Resolvendo, obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em relação a :
Fazendo a substituição , , os limites de vão de a . Resolvendo, obtemos:
Como estamos calculando uma área, o valor negativo indica apenas a direção da integração. Portanto, o valor absoluto é .

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral
onde é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano
Calcule a integral
onde é o semicírculo e .

Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    d)

Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    a)