(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita e o desafio é analisar se essa série converge ou diverge usando o Critério da Comparação. Pra isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já saiba se é convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, então . Isso significa que:

Passo 3

Então, substituindo de volta na fração, temos:
Isso nos mostra que os termos da nossa série estão entre e .

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma série que a gente conhece bem: a série harmônica , que sabemos que diverge. Se multiplicarmos essa série por uma constante positiva, como 2 ou 4, ela ainda vai diverger. Ou seja, e também divergem.

Passo 5

Como a nossa série está limitada entre duas séries divergentes e os termos são sempre positivos, pelo Critério da Comparação, ela também deve divergir.

Resposta

A série diverge pelo Critério da Comparação.

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onde é o semicírculo e .