(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita
e o desafio é analisar se essa série converge ou diverge usando o Critério da Comparação. Pra isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já saiba se é convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, então
. Isso significa que:
Passo 3
Então, substituindo de volta na fração, temos:
Isso nos mostra que os termos da nossa série estão entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma série que a gente conhece bem: a série harmônica
, que sabemos que diverge. Se multiplicarmos essa série por uma constante positiva, como 2 ou 4, ela ainda vai diverger. Ou seja,
e
também divergem.
Passo 5
Como a nossa série
está limitada entre duas séries divergentes e os termos são sempre positivos, pelo Critério da Comparação, ela também deve divergir.
Resposta
A série
diverge pelo Critério da Comparação.
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Calcule a integral
onde
é o semicírculo
e
.