Calcule
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer que calculemos a integral dupla
, onde a região
é definida por todos os pares
que satisfazem
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente integração em coordenadas cartesianas sobre regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região
e aplicar as propriedades das integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A desigualdade
representa uma elipse centrada na origem. Se compararmos com a equação padrão de uma elipse,
, vemos que aqui
e
. Então, a região
é uma elipse alongada no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos observar a função que estamos integrando, que é
. Notamos que essa função é ímpar em relação ao eixo
, ou seja,
muda de sinal de cima para baixo do eixo
. Além disso, a região
é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 4
Quando temos uma função ímpar (como
) integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo correspondente (no caso, o eixo
), a integral total será zero. Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam mutuamente.
Resposta
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