Calcule integral duplaB y d x d y, sendo B=(x, y) in R^2 ; x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer que calculemos a integral dupla , onde a região é definida por todos os pares que satisfazem . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente integração em coordenadas cartesianas sobre regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e aplicar as propriedades das integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A desigualdade representa uma elipse centrada na origem. Se compararmos com a equação padrão de uma elipse, , vemos que aqui e . Então, a região é uma elipse alongada no eixo .

Passo 3

Agora, vamos observar a função que estamos integrando, que é . Notamos que essa função é ímpar em relação ao eixo , ou seja, muda de sinal de cima para baixo do eixo . Além disso, a região é simétrica em relação ao eixo .

Passo 4

Quando temos uma função ímpar (como ) integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo correspondente (no caso, o eixo ), a integral total será zero. Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam mutuamente.

Resposta

integral duplaB y , dx , dy = 0

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