Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular o rotacional (curl) e o divergente de um campo vetorial específico:
Para isso, vamos usar os conceitos de divergente e rotacional de campos vetoriais, que são fundamentais no estudo de campos em múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente é uma operação que, basicamente, nos diz como o campo está “espalhando” ou “contraindo” em cada ponto. Matematicamente, é dado por:
Onde
,
e
são as componentes do vetor
.
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
:
-
:
-
:
(since
não depende de
).
Agora, somando essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial
. O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
- Para
:
Portanto:
- Para
:
Portanto:
- Para
:
Portanto:
Então, juntando todas as componentes:
Resposta
O divergente do campo vetorial
é:
E o rotacional (curl) do campo vetorial
é:
Exercícios relacionados
Represente geometricamente o campo vetorial dado:
Calcule
, sendo
.
Calcule o Laplaciano de cada função:
Calcule
, sendo
.