Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular o rotacional (curl) e o divergente de um campo vetorial específico:
Para isso, vamos usar os conceitos de divergente e rotacional de campos vetoriais, que são fundamentais no estudo de campos em múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente é uma operação que, basicamente, nos diz como o campo está “espalhando” ou “contraindo” em cada ponto. Matematicamente, é dado por:
Onde , e são as componentes do vetor .
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. :
  1. :
  1. :
(since não depende de ).
Agora, somando essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
  1. Para :
Portanto:
  1. Para :
Portanto:
  1. Para :
Portanto:
Então, juntando todas as componentes:

Resposta

O divergente do campo vetorial é:
E o rotacional (curl) do campo vetorial é:

Exercícios relacionados

Represente geometricamente o campo vetorial dado:
Calcule , sendo .
Calcule o Laplaciano de cada função:
Calcule , sendo .