Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
Vamos resolver isso passo a passo. A gente vai precisar saber sobre integrais múltiplas e algumas técnicas de integração, como integrar funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Isso significa que vamos manter constante enquanto integramos em .

Passo 3

A integral interna é:
Para resolver isso, reconhecemos que a integral de em relação a é . Então, calculamos:

Passo 4

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos separar isso em duas integrais:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A integral de em relação a é:
Então, para a primeira integral:
E para a segunda integral:

Passo 6

Calculando os limites para a primeira integral:
Simplificando:
Para a segunda integral:
Simplificando:

Passo 7

Agora, subtraímos a segunda integral da primeira:
Isso é o valor exato da integral dupla.

Passo 8

Para ter uma ideia do valor numérico, podemos calcular aproximando os logaritmos naturais:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 0,794.

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Calcule , sendo .
Calcule o Laplaciano de cada função: