integral1^4 integral1^2 1x+y d x d y

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
integral1^4 integral1^2 1x+y , dx , dy
Vamos resolver isso passo a passo. A gente vai precisar saber sobre integrais múltiplas e algumas técnicas de integração, como integrar funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Isso significa que vamos manter constante enquanto integramos em .

Passo 3

A integral interna é:
integral1^2 1x+y , dx
Para resolver isso, reconhecemos que a integral de ln(x+y) gr|1^2 = ln(2+y) - ln(1+y) = ln(2+y1+y) em relação a é . Então, calculamos:

Passo 4

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^4 ln(2+y1+y) , dy
Podemos separar isso em duas integrais:
integral1^4 ln(2+y) , dy - integral1^4 ln(1+y) , dy

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A integral de integral ln(a+y) , dy = (a+y)ln(a+y) - (a+y) + C em relação a integral1^4 ln(2+y) , dy = (2+y)ln(2+y) - (2+y) gr|1^4 é:
integral1^4 ln(1+y) , dy = (1+y)ln(1+y) - (1+y) gr|1^4
Então, para a primeira integral:
E para a segunda integral:

Passo 6

Calculando os limites para a primeira integral:
(2+4)ln(6) - 6 - [(2+1)ln(3) - 3] = 6ln(6) - 6 - 3ln(3) + 3
Simplificando:
6ln(6) - 3ln(3) - 3
Para a segunda integral:
(1+4)ln(5) - 5 - [(1+1)ln(2) - 2] = 5ln(5) - 5 - 2ln(2) + 2
Simplificando:
5ln(5) - 2ln(2) - 3

Passo 7

Agora, subtraímos a segunda integral da primeira:
(6ln(6) - 3ln(3) - 3) - (5ln(5) - 2ln(2) - 3) = 6ln(6) - 3ln(3) - 5ln(5) + 2ln(2)
Isso é o valor exato da integral dupla.

Passo 8

Para ter uma ideia do valor numérico, podemos calcular aproximando os logaritmos naturais:
ln(2) approx 0,6931; ln(3) approx 1,0986; ln(5) approx 1,6094; ln(6) approx 1,7918
Substituindo:
6(1,7918) - 3(1,0986) - 5(1,6094) + 2(0,6931) approx 10,7508 - 3,2958 - 8,047 + 1,3862 = 0,7942

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 0,794.

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