Então, a gente tem um exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
Vamos resolver isso passo a passo. A gente vai precisar saber sobre integrais múltiplas e algumas técnicas de integração, como integrar funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Isso significa que vamos manter constante enquanto integramos em .
Passo 3
A integral interna é:
Para resolver isso, reconhecemos que a integral de em relação a é . Então, calculamos:
Passo 4
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos separar isso em duas integrais:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A integral de em relação a é:
Então, para a primeira integral:
E para a segunda integral:
Passo 6
Calculando os limites para a primeira integral:
Simplificando:
Para a segunda integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, subtraímos a segunda integral da primeira:
Isso é o valor exato da integral dupla.
Passo 8
Para ter uma ideia do valor numérico, podemos calcular aproximando os logaritmos naturais:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral dupla é aproximadamente 0,794.