Calcule o Laplaciano de cada função:

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano é uma operação que envolve segundas derivadas parciais e nos ajuda a entender como uma função se comporta em várias direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Para uma função escalar , o Laplaciano é dado por:
Ou seja, é a soma das segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossa função . Observamos que é uma função escalar, então podemos aplicar diretamente a fórmula do Laplaciano.

Passo 4

Vamos calcular cada uma das segundas derivadas parciais:
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 5

Em seguida, a derivada parcial em relação a :
E a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 6

Finalmente, a derivada parcial em relação a :
E a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 7

Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano:

Resposta

O Laplaciano da função é igual a zero.

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Calcule , sendo .