Calcule o Laplaciano de cada função:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano é uma operação que envolve segundas derivadas parciais e nos ajuda a entender como uma função se comporta em várias direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Para uma função escalar
, o Laplaciano é dado por:
Ou seja, é a soma das segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossa função
. Observamos que é uma função escalar, então podemos aplicar diretamente a fórmula do Laplaciano.
Passo 4
Vamos calcular cada uma das segundas derivadas parciais:
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
E a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Finalmente, a derivada parcial em relação a
:
E a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano:
Resposta
O Laplaciano da função
é igual a zero.
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Calcule
, sendo
.