integral0^1 integral1^2 raizx+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma dupla integral: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, ou seja, integrar uma função de duas variáveis em uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido: queremos calcular a área sob a superfície no intervalo onde varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Começaremos resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a , mantendo constante.

Passo 3

A integral interna é . Para resolver isso, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar . Então, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para integral1^2 raizx+y , dx = integral1+y^2+y raizu , du . Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:

Passo 5

A integral integral1+y^2+y raizu , du = 23 u^3/2 |1+y^2+y = 23 [ (2+y)^3/2 - (1+y)^3/2 ] é bem conhecida. A antiderivada de é . Portanto, avaliando entre os limites e , temos:

Passo 6

Agora que resolvemos a integral interna, precisamos integrar em relação a integral0^1 23 [ (2+y)^3/2 - (1+y)^3/2 ] , dy de 0 a 1. Ou seja, nossa próxima integral é:
23 integral0^1 [ (2+y)^3/2 - (1+y)^3/2 ] , dy
Vamos simplificar colocando a constante fora da integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
Primeira parte:
integral0^1 (2+y)^3/2 , dy
Faça a substituição integral2^3 u^3/2 , du = 25 u^5/2 |2^3 = 25 (3^5/2 - 2^5/2) , então integral0^1 (1+y)^3/2 , dy , e quando integral1^2 v^3/2 , dv = 25 v^5/2 |1^2 = 25 (2^5/2 - 1^5/2) , ; quando , .
Então,
Segunda parte:
Fazendo a substituição , então , e quando , ; quando , .
Então,

Passo 8

Agora, substituímos de volta essas integrais na expressão original:
23 [ 25 (3^5/2 - 2^5/2) - 25 (2^5/2 - 1^5/2) ]
Simplificando:
415 (3^5/2 - 2^5/2 - 2^5/2 + 1^5/2) = 415 (3^5/2 - 2 cdot 2^5/2 + 1)

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
Sabemos que:
3^5/2 = 3^2 cdot 3^1/2 = 9 raiz3 approx 15.588
2^5/2 = 2^2 cdot 2^1/2 = 4 raiz2 approx 5.657
1^5/2 = 1
Substituindo:
415 (15.588 - 2 cdot 5.657 + 1) = 415 (15.588 - 11.314 + 1) = 415 cdot 5.274 approx 1.4136

Resposta

A integral dupla é aproximadamente igual a 1,414.

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