Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=1ln y e B=(x, y) in R^2: 2 <= y <= 3 e 0 <= x <= 1y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente somar contribuições de uma função sobre uma região no plano . A região é definida por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e simplificar a expressão para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está delimitada por indo de 2 até 3, e para cada , vai de 0 até . Isso significa que estamos somando a função em uma faixa vertical de entre 2 e 3, e horizontalmente de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla sobre a região integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integraly=2^3 integralx=0^1y 1ln y , dx , dy de é escrita assim:

Passo 4

Observa que a função integralx=0^1y 1ln y , dx = 1ln y cdot ( 1y - 0 ) = 1y ln y não depende de . Isso facilita bastante, porque podemos integrar em relação a primeiro. Integrando de 0 a :

Passo 5

Agora, nossa integral dupla se simplifica para uma integral simples em relação a integraly=2^3 1y ln y , dy :

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar integralu=ln 2^ln 3 1u , du , então . Substituindo na integral:

Passo 7

Integrando integral 1u , du = ln |u| + C em relação a ln (ln 3) - ln (ln 2) = ln ( ln 3ln 2 ) :
Avaliado de até :

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ | x + y + z <= 1, x >= 0, y >= 0} e z ≥ 0.
Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3: 0 <= y <= 1 - x^2} e 0 <= z <= 1 - x^2.
Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x
Inverta a ordem de integração.
integral0^pi4[integral0^tg x f(x, y) d y] d x