Calcule
, sendo dados:
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente somar contribuições de uma função
sobre uma região
no plano
. A região
é definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e simplificar a expressão para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está delimitada por
indo de 2 até 3, e para cada
,
vai de 0 até
. Isso significa que estamos somando a função
em uma faixa vertical de
entre 2 e 3, e horizontalmente de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla sobre a região
de
é escrita assim:
Passo 4
Observa que a função
não depende de
. Isso facilita bastante, porque podemos integrar em relação a
primeiro. Integrando
de 0 a
:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla se simplifica para uma integral simples em relação a
:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Avaliado de
até
:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
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dado.
e
.
Inverta a ordem de integração.
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