Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariável. Para inverter a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano
e reescrever os limites de integração de forma que a integração seja primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração:
-
varia de a . - Para cada valor de
, varia de a .
Isso significa que a região de integração
é definida por:
Passo 3
Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano
. A curva que delimita a parte superior da região é
. Com
indo de
a
,
vai de
até
(já que
).
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
e determinar os novos limites para
e
.
Passo 4
Vamos determinar os novos limites:
-
varia de a (já que ). - Para cada valor de
, varia de até (inverso da tangente).
Portanto, a nova descrição da região
é:
Passo 5
Com os novos limites estabelecidos, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
Calcule
, sendo dados:
e
e
.
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
B é o conjunto de todos os pontos tais que
e
.
B é o conjunto de todos os pontos
Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.