Inverta a ordem de integração.
integral0^pi4[integral0^tg x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
integral0^pi4[integral0^tg x f(x, y) , dy] dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariável. Para inverter a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano e reescrever os limites de integração de forma que a integração seja primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração:
  • 0 <= x <= pi4, 0 <= y <= tan x varia de a .
  • Para cada valor de , varia de a .
Isso significa que a região de integração é definida por:

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano . A curva que delimita a parte superior da região é . Com indo de a , vai de até (já que ).
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e determinar os novos limites para e .

Passo 4

Vamos determinar os novos limites:
  • 0 <= y <= 1, 0 <= x <= arctan y varia de a (já que ).
  • Para cada valor de , varia de até (inverso da tangente).
Portanto, a nova descrição da região é:

Passo 5

Com os novos limites estabelecidos, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
integral0^1[integral0^arctan y f(x, y) , dx] dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^1[integral0^arctan y f(x, y) , dx] dy

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