Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto
definido por:
Isso está relacionado ao estudo de geometria no espaço tridimensional, especificamente no cálculo de volumes usando integrais. Vamos precisar entender como visualizar esse conjunto e aplicar a fórmula adequada para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o conjunto
. As condições dadas definem que
,
e
são todas maiores ou iguais a zero e que a soma deles é menor ou igual a 1. Geometricamente, isso descreve um tetraedro no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas) limitado pelo plano
.
Passo 3
Para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume para um tetraedro no espaço tridimensional que tem vértices na origem e nos pontos onde cada uma das coordenadas atinge o valor 1. A fórmula geral para o volume
de tal tetraedro é:
No nosso caso, a base pode ser considerada o triângulo formado pelos pontos
,
e
, e a altura é perpendicular a essa base.
Passo 4
Como todos os lados da base têm comprimento 1 e formam ângulos retos entre si, podemos simplificar a fórmula do volume. A área da base
de um triângulo equilátero com lado 1 é:
No entanto, dado que os três eixos são perpendiculares, a área da base é realmente a area de um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1, então:
A altura do tetraedro também é 1, pois se estende até o ponto onde
.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do volume usando a área da base e a altura:
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
.
Calcule
, sendo dados:
e
e
.
Inverta a ordem de integração.