Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ | x + y + z <= 1, x >= 0, y >= 0} e z ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto definido por:
Isso está relacionado ao estudo de geometria no espaço tridimensional, especificamente no cálculo de volumes usando integrais. Vamos precisar entender como visualizar esse conjunto e aplicar a fórmula adequada para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o conjunto . As condições dadas definem que , e são todas maiores ou iguais a zero e que a soma deles é menor ou igual a 1. Geometricamente, isso descreve um tetraedro no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas) limitado pelo plano .

Passo 3

Para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume para um tetraedro no espaço tridimensional que tem vértices na origem e nos pontos onde cada uma das coordenadas atinge o valor 1. A fórmula geral para o volume de tal tetraedro é:
No nosso caso, a base pode ser considerada o triângulo formado pelos pontos , e , e a altura é perpendicular a essa base.

Passo 4

Como todos os lados da base têm comprimento 1 e formam ângulos retos entre si, podemos simplificar a fórmula do volume. A área da base de um triângulo equilátero com lado 1 é:
No entanto, dado que os três eixos são perpendiculares, a área da base é realmente a area de um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1, então:
A altura do tetraedro também é 1, pois se estende até o ponto onde .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do volume usando a área da base e a altura:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados