Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3: 0 <= y <= 1 - x^2} e 0 <= z <= 1 - x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do conjunto definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes em três dimensões, usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, observamos os limites dados para e :
Para que esses intervalos façam sentido, o termo precisa ser maior ou igual a zero:
Então, os valores de variam de -1 a 1.

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do conjunto , usamos uma integral tripla:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois , e por último .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Assim, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Expandimos o termo :
Então, a integral fica:

Passo 7

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos multiplicar a integral de 0 a 1 por 2:

Passo 8

Calculamos a antiderivada:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Multiplicamos pelo 2:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.
B = {(x, y) em R^2: x^3 <= y <= raiz(x)}.
Inverta a ordem de integração.
integral0^3 a[integralraiz33 x^raiz4 a x-x^2 f(x, y) d y] d x(a>0)
Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ | x + y + z <= 1, x >= 0, y >= 0} e z ≥ 0.
Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=1ln y e B=(x, y) in R^2: 2 <= y <= 3 e 0 <= x <= 1y.