Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do conjunto
definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes em três dimensões, usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, observamos os limites dados para
e
:
Para que esses intervalos façam sentido, o termo
precisa ser maior ou igual a zero:
Então, os valores de
variam de -1 a 1.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume
do conjunto
, usamos uma integral tripla:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Assim, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Expandimos o termo
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos multiplicar a integral de 0 a 1 por 2:
Passo 8
Calculamos a antiderivada:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 9
Multiplicamos pelo 2:
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
.
Inverta a ordem de integração.
Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Calcule
, sendo dados:
e
e
.