Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3: 0 <= y <= 1 - x^2} e 0 <= z <= 1 - x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do conjunto definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes em três dimensões, usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, observamos os limites dados para e :
Para que esses intervalos façam sentido, o termo precisa ser maior ou igual a zero:
Então, os valores de variam de -1 a 1.

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do conjunto , usamos uma integral tripla:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois , e por último .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Assim, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Expandimos o termo :
Então, a integral fica:

Passo 7

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos multiplicar a integral de 0 a 1 por 2:

Passo 8

Calculamos a antiderivada:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Multiplicamos pelo 2:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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