Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o integral duplo:
integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) , dy] dx
A tarefa é inverter a ordem de integração desse integral. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplos. Para resolver, vamos precisar reescrever os limites de integração de forma que integremos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Para inverter a ordem de integração, é essencial compreender a região de integração no plano definida pelos limites atuais. Vamos identificar quais são as fronteiras dessa região.
Originalmente:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Vamos desenhar essas duas retas para visualizar melhor a região.

Passo 3

As equações das retas são:
  1. 2x = x + 1 2x - x = 1 x = 1
  2. y = 2 times 1 = 2
Vamos encontrar o ponto onde essas duas retas se interceptam para entender melhor a área de integração.
Igualando as duas equações:
Substituindo em :
Portanto, as retas se cruzam no ponto (1, 2).

Passo 4

Agora, vamos descrever a região de integração de outra maneira, desta vez variando de 0 a 2 (já que o ponto de interseção tem ).
Vamos dividir essa região em duas partes para facilitar:
  1. Para :
    • A reta se rearranja para .
    • A reta para não interfere, então varia de 0 a .
  2. Para :
    • A reta continua sendo .
    • A reta se rearranja para .
    • Assim, varia de a .

Passo 5

Com essas novas descrições dos limites, podemos reescrever o integral original invertendo a ordem de integração.
Isso significa que primeiro integraremos em relação a e depois em relação a , utilizando os novos limites que definimos.

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, a ordem de integração invertida fica:
integral0^1 [ integral0^y2 f(x, y) , dx ] dy + integral1^2 [ integraly - 1^y2 f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly - 1^y2 f(x, y) , dx , dy

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Inverta a ordem de integração.
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