Determine se existe ou não o seguinte limite:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos que determinar se existe ou não o limite da função:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites em funções de várias variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para funções de duas variáveis, o limite
existe se o valor da função se aproxima do mesmo número quando
se aproxima de
por qualquer caminho.
Então, nosso objetivo é verificar se o limite dessa função é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
:
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
:
Substituindo
na função:
Assim, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite também é
.
Passo 5
Para ter certeza de que o limite existe, precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar com uma linha reta que passa pela origem. Por exemplo, suponha que
, onde
e
são constantes.
Vamos escolher
:
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 6
Observamos que ao se aproximar de
pelo eixo
ou
, o limite foi
, mas ao se aproximar pelo caminho
, o limite foi
. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.