Determine se existe ou não o seguinte limite:
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos que determinar se existe ou não o limite da função:
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^4
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites em funções de várias variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para funções de duas variáveis, o limite existe se o valor da função se aproxima do mesmo número quando se aproxima de por qualquer caminho.
Então, nosso objetivo é verificar se o limite dessa função é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo x cdot 0^2x^2+0^4 = 0x^2 = 0 , ou seja, quando :
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite ao longo do eixo 0 cdot y^20^2+y^4 = 0y^4 = 0 , ou seja, quando :
Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar de pelo eixo , o limite também é .

Passo 5

Para ter certeza de que o limite existe, precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar com uma linha reta que passa pela origem. Por exemplo, suponha que x cdot (x^12)^2x^2 + (x^12)^4 = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 , onde e são constantes.
Vamos escolher :
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Observamos que ao se aproximar de pelo eixo ou , o limite foi , mas ao se aproximar pelo caminho , o limite foi . Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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