Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do conjunto
definido por certas condições em três dimensões. O conteúdo envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente duplas, para encontrar volumes. Vamos precisar entender as limitações das variáveis
,
e
e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O conjunto
é definido por:
Isso significa que
está entre duas superfícies planas,
(a inferior) e
(a superior), enquanto
e
são não negativos.
Passo 3
Para encontrar o volume de
, vamos calcular a integral dupla da diferença entre as duas funções de
sobre a região no plano
onde essas desigualdades são válidas. Ou seja:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a região
no plano
onde
, além das condições
e
. Resolvendo
:
Portanto,
é o triângulo delimitado por
,
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla sobre essa região triangular. Integramos primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna com respeito a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão com respeito a
:
Substituindo
:
Resposta
O volume do conjunto
é
.