Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ : 4x + 2y ≤ z ≤ 3x + y + 1, x ≥ 0} e y ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume do conjunto definido por certas condições em três dimensões. O conteúdo envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente duplas, para encontrar volumes. Vamos precisar entender as limitações das variáveis , e e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O conjunto é definido por:
Isso significa que está entre duas superfícies planas, (a inferior) e (a superior), enquanto e são não negativos.

Passo 3

Para encontrar o volume de , vamos calcular a integral dupla da diferença entre as duas funções de sobre a região no plano onde essas desigualdades são válidas. Ou seja:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a região no plano onde , além das condições e . Resolvendo :
Portanto, é o triângulo delimitado por , e .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre essa região triangular. Integramos primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna com respeito a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão com respeito a :
Substituindo :

Resposta

O volume do conjunto é .

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