Calcule a integral onde é o poligono de vírtices , (1 pontos)

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde é o polígono com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de integrais duplas e determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Os vértices fornecidos são , e . Isso forma um retângulo onde:
  • varia de 0 a 1.
  • varia de 0 a 2.

Passo 3

Com os limites de e definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

A integral fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna . Como não depende de , podemos tratar como uma constante em relação a :

Passo 6

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral . Essa integral não possui uma antiderivada elementar, ou seja, não pode ser expressa em termos de funções básicas. Porém, podemos relacioná-la com a função de Fresnel ou calcular uma aproximação numérica se for necessário um valor específico.

Resposta

A integral dupla é igual a:

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