Calcule a integral
onde
é o poligono de vírtices
, (1 pontos)
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde
é o polígono com vértices nos pontos
,
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de integrais duplas e determinar os limites de integração para a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Os vértices fornecidos são
,
e
. Isso forma um retângulo onde:
-
varia de 0 a 1. -
varia de 0 a 2.
Passo 3
Com os limites de
e
definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
A integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna
. Como
não depende de
, podemos tratar
como uma constante em relação a
:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral
. Essa integral não possui uma antiderivada elementar, ou seja, não pode ser expressa em termos de funções básicas. Porém, podemos relacioná-la com a função de Fresnel ou calcular uma aproximação numérica se for necessário um valor específico.
Resposta
A integral dupla
é igual a:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
e mostre o sentido de
crescente.
21.
21.
Encontre (a)
, (b)
, ©
e (d)
e defina seus domínios.
Esboce o gráfico de
e mostre o sentido de
crescente.
24.
24.
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
35.
35.