Esboce o gráfico de e mostre o sentido de crescente.
24.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial onde varia de a . O objetivo é desenhar o gráfico dessa função e mostrar a direção em que está aumentando. Vamos precisar usar conhecimentos de parametrização de curvas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos separar a função vetorial em suas componentes e :
Isso nos mostra que depende do cosseno de e depende do seno de .

Passo 3

Conhecendo as funções trigonométricas, sabemos que varia entre e e também varia entre e . Portanto:
Isso indica que a curva terá um comprimento horizontal de 4 unidades e um comprimento vertical de 10 unidades.

Passo 4

Com essas informações, vemos que a curva formada é uma elipse. Para desenhá-la:
  • O eixo horizontal (eixo maior no ) vai de a .
  • O eixo vertical (eixo menor no ) vai de a .
    Desenhamos uma elipse centrada na origem com esses limites.

Passo 5

Agora, vamos determinar o sentido em que está aumentando. Quando :
À medida que aumenta, por exemplo, para :
Isso mostra que a curva se move do ponto para , ou seja, no sentido anti-horário.

Resposta

O gráfico de é uma elipse centrada na origem, com eixo horizontal de a e eixo vertical de a . Conforme aumenta de a , a direção do movimento na elipse é anti-horário.

Gráfico

Elipse com direção anti-horário (Imagem ilustrativa da elipse com uma seta indicando o sentido anti-horário)

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