Calcule , onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla de sobre a região . Essa região está no primeiro quadrante e é limitada pelas hipérboles , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que simplifica essas equações. Precisamos entender como transformar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir novas variáveis:
Essa mudança de variável ajuda porque as equações que definem a região ficam mais simples em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais a partir das equações e :
Usamos essas para montar a matriz jacobiana inversa.

Passo 5

A matriz jacobiana inversa é dada por:
Então, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 6

Agora, substituímos na integral original:
Isso simplifica muito a integração, pois agora estamos apenas calculando a área da nova região .

Passo 7

A nova região é definida por:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada por no ponto e .
Determine a área da superfície: A parte do plano com e .
) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
b)
) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
d)