Calcule , onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles e .
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla de sobre a região . Essa região está no primeiro quadrante e é limitada pelas hipérboles , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que simplifica essas equações. Precisamos entender como transformar as variáveis e para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir novas variáveis:
Essa mudança de variável ajuda porque as equações que definem a região ficam mais simples em termos de e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais a partir das equações partial upartial x = 2x partial upartial y = -2y e partial vpartial x = y partial vpartial y = x :
Usamos essas para montar a matriz jacobiana inversa.
Passo 5
A matriz jacobiana inversa J = 1| 2x & -2y y & x | = 12x cdot x - (-2y) cdot y = 12x^2 + 2y^2 = 12(x^2 + y^2) é dada por:
Então, o valor absoluto do jacobiano é .
Passo 6
Agora, substituímos na integral original:
integral duplaB (x^2 + y^2) , dx , dy = integral duplaB' (x^2 + y^2) cdot 12(x^2 + y^2) , du , dv = 12 integral duplaB' 1 , du , dv
Isso simplifica muito a integração, pois agora estamos apenas calculando a área da nova região .
Passo 7
A nova região 1 <= u <= 9 é definida por:
2 <= v <= 9
12 integralu=1^9 integralv=2^9 1 , dv , du
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos calcular a integral interna primeiro:
integralv=2^9 1 , dv = 9 - 2 = 7
Agora, substituímos na integral externa:
12 integralu=1^9 7 , du = 72 integral1^9 1 , du = 72 (9 - 1) = 72 times 8 = 28