Calcule integral duplaB(x^2+y^2) d x d y, onde B é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles x^2-y^2=1, x^2-y^2=9, x y=2 e x y=9.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla de sobre a região . Essa região está no primeiro quadrante e é limitada pelas hipérboles , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que simplifica essas equações. Precisamos entender como transformar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir novas variáveis:
u = x^2 - y^2
v = xy
Essa mudança de variável ajuda porque as equações que definem a região ficam mais simples em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano J = partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais a partir das equações partial upartial x = 2x partial upartial y = -2y e partial vpartial x = y partial vpartial y = x :
Usamos essas para montar a matriz jacobiana inversa.

Passo 5

A matriz jacobiana inversa J = 1| 2x & -2y y & x | = 12x cdot x - (-2y) cdot y = 12x^2 + 2y^2 = 12(x^2 + y^2) é dada por:
Então, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 6

Agora, substituímos na integral original:
integral duplaB (x^2 + y^2) , dx , dy = integral duplaB' (x^2 + y^2) cdot 12(x^2 + y^2) , du , dv = 12 integral duplaB' 1 , du , dv
Isso simplifica muito a integração, pois agora estamos apenas calculando a área da nova região .

Passo 7

A nova região 1 <= u <= 9 é definida por:
2 <= v <= 9
12 integralu=1^9 integralv=2^9 1 , dv , du
Então, a integral se torna:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integralv=2^9 1 , dv = 9 - 2 = 7
Agora, substituímos na integral externa:
12 integralu=1^9 7 , du = 72 integral1^9 1 , du = 72 (9 - 1) = 72 times 8 = 28

Resposta

O valor da integral dupla é .

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