Calcule , onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles e .
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla de sobre a região . Essa região está no primeiro quadrante e é limitada pelas hipérboles , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que simplifica essas equações. Precisamos entender como transformar as variáveis e para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir novas variáveis:
Essa mudança de variável ajuda porque as equações que definem a região ficam mais simples em termos de e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais a partir das equações e :
Usamos essas para montar a matriz jacobiana inversa.
Passo 5
A matriz jacobiana inversa é dada por:
Então, o valor absoluto do jacobiano é .
Passo 6
Agora, substituímos na integral original:
Isso simplifica muito a integração, pois agora estamos apenas calculando a área da nova região .