Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada por r(u, v) = (u * cos(v), u * sen(v), v) no ponto u = 3 e v = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente a uma superfície que está parametrizada pela função no ponto onde e . Isso é parte da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente no estudo de superfícies e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular os vetores tangentes à superfície nesse ponto e depois usar esses vetores para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto na superfície que estamos interessados. Substituindo e na função :
Sabemos que e , então:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos achar os vetores tangentes à superfície nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão os vetores direção nas direções de e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto e :
Então, temos dois vetores tangentes no ponto :

Passo 5

Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos do vetor normal ao plano, que é perpendicular aos dois vetores tangentes. Para isso, vamos calcular o produto vetorial dos vetores e :
Calculando:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação do plano:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou, rearranjando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto dado é .

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