Calcule , onde é o conjunto de todos os tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla . A questão envolve cálculo de integrais duplas, onde precisamos integrar uma função sobre uma região específica no plano. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base na região definida por , e utilizar coordenadas apropriadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A condição define que para cada valor de , varia de até . Para visualizar isso, é útil desenhar o gráfico de e . A interseção dessas curvas acontece quando , ou seja, , então e . Portanto, varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
Aqui, o primeiro integral externo é em relação a de 0 a 1, e o interno é em relação a de a .
Passo 4
Vamos focar na integral interna: . Observamos que pode ser tratado como uma constante em relação a . Para integrar essa expressão, fazemos uma substituição simples. Seja , então . No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral, então optamos por uma integração direta.
Passo 5
Vamos integrar em relação a . A antiderivada de com respeito a é:
Portanto, a integral interna torna-se:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de y na expressão acima:
Para y = x:
12 x raizx^2+x^2 + 12 x^2 ln(x + raizx^2+x^2) = 12 x raiz2x^2 + 12 x^2 ln(x + xraiz2) = 12 x cdot x raiz2 + 12 x^2 ln(x(1 + raiz2)) = raiz22 x^2 + 12 x^2 ln(x(1 + raiz2))