A temperatura estacionária
no interior de uma placa quadrada de lado
satisfaz ali a equação de Laplace. Nas bordas da placa vale
(a) Obtenha a expressão para
.
(b) Escreva a forma das duas famílias de soluções fatoradas que você usou para construir a resposta acima.
(b) Escreva a forma das duas famílias de soluções fatoradas que você usou para construir a resposta acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação de Laplace em uma placa quadrada de lado
. A gente vai usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução
. Precisamos entender as condições de contorno dadas nas bordas da placa para montar a solução.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a equação de Laplace é
, ou seja,
. Vamos supor que a solução pode ser escrita como produto de funções de
e
:
.
Passo 3
Substituindo na equação de Laplace, temos:
Dividindo por
:
Isso nos leva a
, onde
é uma constante de separação.
Passo 4
Vamos resolver para
:
E para
:
As soluções dessas equações dependem do sinal de
.
Passo 5
Considerando as condições de contorno
e
, vamos assumir que
, onde
é um inteiro positivo. Assim, as soluções fatoradas são:
Passo 6
Aplicando as condições de contorno em
e
, podemos determinar os coeficientes
e
. Por exemplo, para
:
Isso indica que as únicas frequências presentes são
e
.
Passo 7
Portanto, a solução geral fica:
Aplicando as condições adicionais, resolvemos para
e
e encontramos a expressão completa de
.
Resposta
A solução para a temperatura estacionária é