A temperatura estacionária u=u(x, y) no interior de uma placa quadrada de lado pi satisfaz ali a equação de Laplace. Nas bordas da placa vale
l u(x, 0)=sen(3 x)-2 sen(5 x), u(x, pi)=0, 0 <= x <= pi u(0, y)=0, u(pi, y)=13 sen(2 y), 0 <= y <= pi
(a) Obtenha a expressão para u.
(b) Escreva a forma das duas famílias de soluções fatoradas que você usou para construir a resposta acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação de Laplace em uma placa quadrada de lado . A gente vai usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução . Precisamos entender as condições de contorno dadas nas bordas da placa para montar a solução.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a equação de Laplace é , ou seja, . Vamos supor que a solução pode ser escrita como produto de funções de e : .

Passo 3

Substituindo na equação de Laplace, temos:
X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Dividindo por X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 :
Isso nos leva a , onde é uma constante de separação.

Passo 4

Vamos resolver para X''(x) - lambda X(x) = 0 :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
E para :
As soluções dessas equações dependem do sinal de .

Passo 5

Considerando as condições de contorno Xn(x) = sin(n xpi) e Yn(y) = An sinh(n y) + Bn cosh(n y) , vamos assumir que , onde é um inteiro positivo. Assim, as soluções fatoradas são:

Passo 6

Aplicando as condições de contorno em u(x,0) = sin(3x) - 2 sin(5x) e , podemos determinar os coeficientes e . Por exemplo, para :
Isso indica que as únicas frequências presentes são e .

Passo 7

Portanto, a solução geral fica:
u(x, y) = [sin(3x)(A3 sinh(3y) + B3 cosh(3y))] + [-2 sin(5x)(A5 sinh(5y) + B5 cosh(5y))]
Aplicando as condições adicionais, resolvemos para e e encontramos a expressão completa de .

Resposta

A solução para a temperatura estacionária é
u(x, y) = sin(3x) sinh(3y)sinh(3pi) - 2 sin(5x) sinh(5y)sinh(5pi) + 13 sin(2y) sinh(2x)sinh(2pi)

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