Determine o volume do sólido dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9, fora do cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar o volume de um sólido que está dentro de uma esfera, fora de um cone e acima do plano xy. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar montar os limites de integração com base nas equações da esfera, do cone e do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas. A esfera dada por tem raio 3. O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde é a distância do ponto à origem no plano xy. O plano xy é simplesmente onde .

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas porque elas simplificam a integração em superfícies como esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, temos:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para , como a esfera tem raio 3, varia de 0 a 3.
  • Para , que envolve a rotação completa em torno do eixo z, varia de 0 a .
  • Para , precisamos encontrar o ângulo onde o cone e a esfera se intersectam. A equação do cone resulta em , ou seja, .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla para o volume:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  • Integração em :
  • Integração em :
  • Integração em :

Resposta

Multiplicando tudo, o volume é:
Então, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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