Determine o volume do sólido dentro da esfera , fora do cone e acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar o volume de um sólido que está dentro de uma esfera, fora de um cone e acima do plano xy. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar montar os limites de integração com base nas equações da esfera, do cone e do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas. A esfera dada por tem raio 3. O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde é a distância do ponto à origem no plano xy. O plano xy é simplesmente onde .
Passo 3
Vamos usar coordenadas esféricas porque elas simplificam a integração em superfícies como esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, temos:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
Para , como a esfera tem raio 3, varia de 0 a 3.
Para , que envolve a rotação completa em torno do eixo z, varia de 0 a .
Para , precisamos encontrar o ângulo onde o cone e a esfera se intersectam. A equação do cone resulta em , ou seja, .
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla para o volume: