Uma placa quadrada com lados de comprimento pi tem duas bordas opostas isoladas termicamente e as outras duas com temperaturas especificadas através das funções f1 e f2 de forma que a temperatura estacionária da placa satisfaz o problema com valores na fronteira a seguir.
& partialx^2 u+partialy^2 u=0, 0
(a) Verifique que para todo número natural n, a função
un(x, y)=cos (n x) senh(n y)
satisfaz o problema acima, com f1(x)=0 e f2(x)=senh(n pi) cos (n x).
(b) Determine a solução do problema se f1(x)=0 e f2(x)=2 cos x-cos (3 x), 0 <= x <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Equações de Laplace aplicadas numa placa quadrada. A gente precisa encontrar como a temperatura se distribui nessa placa dadas certas condições nas bordas. Para isso, vamos usar conhecimentos de Matemática Avançada, especialmente de Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. A gente precisa verificar se a função
un(x, y) = cos(n x) sinh(n y)
satisfaz a equação de Laplace dada por
partialx^2 u + partialy^2 u = 0
nas condições de contorno especificadas.

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas parciais de partialx un = -n sin(n x) sinh(n y) em relação a partialx^2 un = -n^2 cos(n x) sinh(n y) e partialy un = n cos(n x) cosh(n y) .
Primeiro, a derivada em relação a partialy^2 un = n^2 cos(n x) sinh(n y) :
Agora, a derivada em relação a :

Passo 4

Agora, somamos as duas segundas derivadas:
partialx^2 un + partialy^2 un = -n^2 cos(n x) sinh(n y) + n^2 cos(n x) sinh(n y) = 0
Então, a função realmente satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Vamos verificar as condições de contorno. As bordas em partialx un(0, y) = -n sin(0) sinh(n y) = 0 e partialx un(pi, y) = -n sin(n pi) sinh(n y) = 0 têm derivadas em un(x, 0) = cos(n x) sinh(0) = 0 (ou seja, f1(x) = 0) iguais a zero:
un(x, pi) = cos(n x) sinh(n pi) = sinh(n pi) cos(n x) (ou seja, f2(x) = sinh(n pi) cos(n x))
Pois para todo número natural .
Nas bordas e :
Então, a função também satisfaz as condições de contorno.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a solução quando
f1(x) = 0 e f2(x) = 2cos(x) - cos(3x)
Observando , vemos que ela é uma combinação linear de e . Isso sugere que podemos escrever a solução geral como a soma das soluções correspondentes a e .

Passo 7

Usando o resultado da parte (a), para u1(x, y) = cos(x) sinh(y) :
u3(x, y) = cos(3x) sinh(3y)
E para u(x, y) = 2u1(x, y) - u3(x, y) = 2cos(x) sinh(y) - cos(3x) sinh(3y) :
Como , a solução será uma combinação desses dois:

Resposta

A solução do problema é
u(x, y) = 2,cos(x),sinh(y) - cos(3x),sinh(3y)

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