Uma placa quadrada com lados de comprimento
tem duas bordas opostas isoladas termicamente e as outras duas com temperaturas especificadas através das funções
e
de forma que a temperatura estacionária da placa satisfaz o problema com valores na fronteira a seguir.
(a) Verifique que para todo número natural
, a função
satisfaz o problema acima, com
e
.
(b) Determine a solução do problema se
e
.
(b) Determine a solução do problema se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Equações de Laplace aplicadas numa placa quadrada. A gente precisa encontrar como a temperatura se distribui nessa placa dadas certas condições nas bordas. Para isso, vamos usar conhecimentos de Matemática Avançada, especialmente de Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. A gente precisa verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace dada por
nas condições de contorno especificadas.
Passo 3
Vamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Agora, a derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, somamos as duas segundas derivadas:
Então, a função
realmente satisfaz a equação de Laplace.
Passo 5
Vamos verificar as condições de contorno. As bordas em
e
têm derivadas em
iguais a zero:
Pois
para todo número natural
.
Nas bordas
e
:
Então, a função também satisfaz as condições de contorno.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a solução quando
Observando
, vemos que ela é uma combinação linear de
e
. Isso sugere que podemos escrever a solução geral como a soma das soluções correspondentes a
e
.
Passo 7
Usando o resultado da parte (a), para
:
E para
:
Como
, a solução será uma combinação desses dois:
Resposta
A solução do problema é