Calcule
, onde
é o conjunto de todos
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, onde
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e calcular as integrais internas e externas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Como
vai de 0 a 1 e para cada
,
vai de 0 até
, isso significa que estamos integrando sobre uma área que está abaixo da curva
e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla. A gente pode escrever isso como:
Aqui, primeiro integramos em relação a
(a integral interna) e depois em relação a
(a integral externa).
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. A integral de
em relação a
é
, então temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.