Calcule integral duplaB x y d x d y, onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 <= x <= 1,0 <= y <= x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , onde é o conjunto de todos os pontos que satisfazem e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e calcular as integrais internas e externas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Como vai de 0 a 1 e para cada , vai de 0 até , isso significa que estamos integrando sobre uma área que está abaixo da curva e entre e .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. A gente pode escrever isso como:
integral duplaB x y , dx , dy = integralx=0^1 integraly=0^x^2 x y , dy , dx
Aqui, primeiro integramos em relação a (a integral interna) e depois em relação a (a integral externa).

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é:
integral0^x^2 x y , dy
Aqui, x times [ y^22 ]0^x^2 = x times ( (x^2)^22 - 0 ) = x times x^42 = x^52 é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral de em relação a é , então temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 x^52 , dx = 12 integral0^1 x^5 , dx :
12 times [ x^66 ]0^1 = 12 times ( 16 - 0 ) = 112
A integral de em relação a é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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