Inverta a ordem de integração e calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente tem que inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como visualizar a região de integração e aplicar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral original é de
até
e, para cada
,
vai de
até
. Isso significa que estamos ocupando uma área onde
está sempre entre
e
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando os limites, quando
varia de
a
,
vai de
até
. Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, a integral em
é simplesmente
multiplicado pelo intervalo de
, que é
:
Passo 5
Substituímos isso na integral externa, ficando assim:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Integrando
, temos:
Resposta
A integral vale
.