Inverta a ordem de integração e calcule a integral integral0^1[integralraizy^1 sen x^3 d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a gente tem que inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como visualizar a região de integração e aplicar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral original é de até e, para cada , vai de até . Isso significa que estamos ocupando uma área onde está sempre entre e .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar integral0^1 [ integral0^x^2 sin(x^3) , dy ] dx em termos de . Observando os limites, quando varia de a , vai de até . Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^x^2 sin(x^3) , dy = sin(x^3) cdot x^2 . Como não depende de , a integral em é simplesmente multiplicado pelo intervalo de , que é :

Passo 5

Substituímos isso na integral externa, ficando assim:
integral0^1 sin(x^3) cdot x^2 , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja 13 integral0^1 sin(u) , du , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Integrando 13 [ -cos(u) ]0^1 = 13 ( -cos(1) + cos(0) ) , temos:

Resposta

A integral vale .

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