Utilize a integral dupla para determinar a área da região limitada pela parábola pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar integrais duplas para achar a área da região que é limitada pela parábola , pelas retas , e pelo eixo . Para isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla e definir corretamente os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A parábola abre para cima e intercepta o eixo no ponto (0,0). As retas e são linhas verticais que cortam a parábola. O eixo é a própria base da parábola. Então, a região é como uma espécie de “volta” da parábola entre esses dois pontos de .

Passo 3

Para calcular a área usando uma integral dupla, a gente pode pensar em integrar a função sobre a região . A integral dupla para a área será:
Á
Aqui, representa um pequeno elemento de área na região .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração. Como a região está entre e e entre e , podemos configurar a integral dupla assim:
Á
Isso significa que para cada valor de entre -1 e 1, vai de 0 até .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral dupla fica:
Á

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em relação a :

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Utilize a integral dupla para calcular a área da região limitada pelas funções .
Calcule , onde é o conjunto de todos tais que .
Calcule o volume do conjunto de todos tais que e .
Calcule a integral iterada: