Utilize a integral dupla para calcular a área da região limitada pelas funções
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é usar a integral dupla para calcular a área da região que fica entre as duas funções
e
. Essas funções vão nos ajudar a definir os limites da área que queremos calcular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos rearranjar essa equação para resolver para
:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Passo 4
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções de
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando o discriminante:
Sabemos que
, então:
Então as soluções são:
Passo 6
Agora que temos os pontos de interseção
e
, podemos determinar os limites de integração. A área será calculada entre esses dois valores de
.
Passo 7
Para configurar a integral dupla, reconhecemos que a área entre duas curvas pode ser expressa como:
Onde:
Passo 8
Montando a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 10
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 11
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
é aproximadamente
unidades quadradas.
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Calcule
, onde
é o conjunto de todos
tais que
.
Inverta a ordem de integração e calcule a integral
Utilize a integral dupla para determinar a área da região
limitada pela parábola
pelas retas
e
.
Calcule o volume do conjunto de todos
tais que
e
.