Utilize a integral dupla para calcular a área da região limitada pelas funções .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é usar a integral dupla para calcular a área da região que fica entre as duas funções e . Essas funções vão nos ajudar a definir os limites da área que queremos calcular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para resolver para :
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:

Passo 4

Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando o discriminante:
Sabemos que , então:
Então as soluções são:

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção e , podemos determinar os limites de integração. A área será calculada entre esses dois valores de .

Passo 7

Para configurar a integral dupla, reconhecemos que a área entre duas curvas pode ser expressa como:
Á
Onde:

Passo 8

Montando a integral dupla:
Á
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a :
Á
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 10

Integrando termo a termo:
Então,
Á

Passo 11

Calculando para :
Calculando para :

Passo 12

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é aproximadamente unidades quadradas.

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