Calcule a integral iterada: integral1^2 integral0^3 x^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral iterada integral1^2 integral0^3 x^2 y ,dx, dy. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y, usando as regras de integração que aprendemos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte interna da integral, que é integral0^3 x^2 y ,dx. Aqui, tratamos y como uma constante, já que estamos integrando em relação a x.
A integral de x^2 em relação a x é x^33, então:
integral x^2 y ,dx = y cdot x^33 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
y cdot [ 3^33 - 0^33 ] = y cdot [ 273 - 0 ] = y cdot 9 = 9y

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral externa. Ficamos com:
integral1^2 9y , dy
Agora, vamos integrar 9y em relação a y. A integral de y é y^22, então:
integral 9y , dy = 9 cdot y^22 + C = 92 y^2 + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
92 cdot 2^2 - 92 cdot 1^2 = 92 cdot 4 - 92 cdot 1 = 18 - 92 = 362 - 92 = 272 = 13,5

Resposta

O valor da integral iterada é 13,!5.

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