Resolva os PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valores Iniciais) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular do tipo:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos
:
Agora, encontramos
:
Aplicamos
:
Passo 6
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:
Resolva os PVIs:
Calcule
onde
é o conjunto dado.
é o triângulo de vértices
e
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.