Resolva os PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valores Iniciais) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução do tipo . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular do tipo:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .

Passo 5

Primeiro, aplicamos :
çã
Agora, encontramos :
Aplicamos :
çã

Passo 6

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
çãçã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:
Resolva os PVIs:
Calcule onde é o conjunto dado. é o triângulo de vértices e
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.