Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
Vamos inverter a ordem de integração da integral dupla
.
Conteúdo da matéria: Cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração.
O que precisamos: Entender os limites de integração atuais e reescrevê-los para inverter a ordem, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Temos
variando de
a
. Para cada
,
varia de
até
.
Vamos identificar as curvas que definem esses limites:
- Limite inferior de
: - Limite superior de
:
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
e determinar os novos limites para
e
.
Primeiro, determinamos os valores de
onde as duas curvas se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação para
, encontramos os pontos de intersecção.
Passo 4
Após solucionar a equação, encontramos que a região de integração é limitada por
variando de
até
e
de
a
.
Invertendo a ordem,
será o primeiro a variar, e
dependerá de
.
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Onde os limites são determinados com base na interseção das curvas e na expressão de
em função de
.