Calcule integral duplaB y d x d y, onde B é o conjunto dado.
a) B é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de 1 / 6;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre o conjunto , que é o triângulo com vértices em , e . Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente como definir os limites de integração para uma região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo . Os vértices são , e . Isso forma um triângulo retângulo com a base no eixo de a e a altura no eixo de a , mas inclinado até o ponto .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Para integrais duplas sobre uma região triangular, podemos escolher a ordem de integração. Vamos começar integrando em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Para integrar primeiro em relação a y <= x <= 1 , fixamos um valor de e vemos como varia. No triângulo, para cada fixo, vai de até . Então, os limites são:
E varia de a .

Passo 5

Então, a integral fica:
integral duplaB y , dx , dy = integral0^1 integraly^1 y , dx , dy
Aqui, é constante em relação a , então podemos simplificar a integração interna.

Passo 6

Integrando em relação a integraly^1 y , dx = y cdot (1 - y) :
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a .

Passo 7

Agora, integramos integral0^1 y (1 - y) , dy = integral0^1 (y - y^2) , dy de a :

Passo 8

Calculando a integral:
integral0^1 y , dy - integral0^1 y^2 , dy = [ y^22 ]0^1 - [ y^33 ]0^1 = 12 - 13 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados