Calcule , onde é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices e .
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre o conjunto , que é o triângulo com vértices em , e . Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente como definir os limites de integração para uma região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo . Os vértices são , e . Isso forma um triângulo retângulo com a base no eixo de a e a altura no eixo de a , mas inclinado até o ponto .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Para integrais duplas sobre uma região triangular, podemos escolher a ordem de integração. Vamos começar integrando em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Para integrar primeiro em relação a , fixamos um valor de e vemos como varia. No triângulo, para cada fixo, vai de até . Então, os limites são:
E varia de a .

Passo 5

Então, a integral fica:
Aqui, é constante em relação a , então podemos simplificar a integração interna.

Passo 6

Integrando em relação a :
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a .

Passo 7

Agora, integramos de a :

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Exercício 23: Calcule.

b) onde ;

Exercício 23: Calcule.

a) onde é o círculo Resp.:
Calcule , onde é o conjunto dado.
b) ;
Inverta a ordem de integração.
c) .
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de , de e de .