Calcule
, onde
é o conjunto dado.
a)
é o triângulo de vértices
e
.
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de
;
a)
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre o conjunto
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente como definir os limites de integração para uma região triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo
. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo retângulo com a base no eixo
de
a
e a altura no eixo
de
a
, mas inclinado até o ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração. Para integrais duplas sobre uma região triangular, podemos escolher a ordem de integração. Vamos começar integrando
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Para integrar primeiro em relação a
, fixamos um valor de
e vemos como
varia. No triângulo, para cada
fixo,
vai de
até
. Então, os limites são:
E
varia de
a
.
Passo 5
Então, a integral fica:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos simplificar a integração interna.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a
.
Passo 7
Agora, integramos
de
a
:
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Exercício 23: Calcule.
b)
onde
;
Exercício 23: Calcule.
a)
onde
é o círculo
Resp.:
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
b) ;
b)
Inverta a ordem de integração.
c) .
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de , de
e de
.
c)
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de