Inverta a ordem de integração.
c)
.
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de
, de
e de
.
c)
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está definida primeiro em relação a
e depois em relação a
. Nosso objetivo é inverter essa ordem de integração. Para isso, precisamos identificar a região de integração e como ela se decompõe nas partes indicadas:
,
e
. Vamos precisar entender como os limites de
e
se relacionam nessa região.
Passo 2
Primeiro, observamos os limites da integral original:
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
. Isso significa que a região de integração está limitada por as linhas
,
,
e
.
Passo 3
Vamos desenhar essa região no plano
para visualizar melhor. Quando
,
varia de 0 a 3. Quando
,
varia de 1 a 4. Assim, a região forma uma faixa inclinada entre essas linhas. A dica sugere decompor essa região em três partes:
,
e
. Isso ajuda a facilitar a inversão dos limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de
para cada intervalo de
.
Passo 5
Para
entre 0 e 1:
varia de 0 a
, já que
.
Para
entre 1 e 3:
varia de 0 a 1, pois
está limitado entre 0 e 1.
Para
entre 3 e 4:
varia de
a 1, já que
.
Passo 6
Com esses limites, podemos reescrever a integral invertida como a soma das integrais sobre cada uma dessas regiões:
Resposta
A ordem de integração invertida é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
b) ;
b)
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices
e
.
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;
a)
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de
Exercício 23: Calcule.
c)
onde
é o conjunto
Resp.:
Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
Resolva a equação de Bernoulli quando e quando
. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
Resolva a equação de Bernoulli quando