Inverta a ordem de integração.
c) integral0^1[integraly^y+3 f(x, y) d x] d y.
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de [0,1], de [1,3] e de [3,4].

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está definida primeiro em relação a e depois em relação a . Nosso objetivo é inverter essa ordem de integração. Para isso, precisamos identificar a região de integração e como ela se decompõe nas partes indicadas: , e . Vamos precisar entender como os limites de e se relacionam nessa região.

Passo 2

Primeiro, observamos os limites da integral original: varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Isso significa que a região de integração está limitada por as linhas , , e .

Passo 3

Vamos desenhar essa região no plano para visualizar melhor. Quando , varia de 0 a 3. Quando , varia de 1 a 4. Assim, a região forma uma faixa inclinada entre essas linhas. A dica sugere decompor essa região em três partes: , e . Isso ajuda a facilitar a inversão dos limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos determinar os novos limites de para cada intervalo de .

Passo 5

Para entre 0 e 1: varia de 0 a , já que .
Para entre 1 e 3: varia de 0 a 1, pois está limitado entre 0 e 1.
Para entre 3 e 4: varia de a 1, já que .

Passo 6

Com esses limites, podemos reescrever a integral invertida como a soma das integrais sobre cada uma dessas regiões:
integral0^1 [ integral0^x f(x, y) dy ] dx + integral1^3 [ integral0^1 f(x, y) dy ] dx + integral3^4 [ integralx-3^1 f(x, y) dy ] dx

Resposta

A ordem de integração invertida é dada por:
integral0^1 [ integral0^x f(x, y) dy ] dx + integral1^3 [ integral0^1 f(x, y) dy ] dx + integral3^4 [ integralx-3^1 f(x, y) dy ] dx

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