Calcule integral duplaB y d x d y, onde B é o conjunto dado.
b) B=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= x+2;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definido por e . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer os limites de integração. Como integral duplaB y , dx , dy = integralx=-1^1 integraly=0^x+2 y , dy , dx varia de a e, para cada , varia de até , nossa integral dupla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^x+2 y , dy = [ 12 y^2 ]0^x+2 = 12 (x + 2)^2 . A integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a integral-1^1 12 (x + 2)^2 , dx :

Passo 5

Vamos expandir e calcular a integral:
12 integral-1^1 (x^2 + 4x + 4) , dx = 12 [ x^33 + 2x^2 + 4x ]-1^1

Passo 6

Agora, calculamos nos limites de integração:
Para 13 + 2(1)^2 + 4(1) = 13 + 2 + 4 = 13 + 6 = 193 :
(-1)^33 + 2(-1)^2 + 4(-1) = -13 + 2 - 4 = -13 - 2 = -73
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
12 ( 193 - (-73) ) = 12 ( 263 ) = 133

Resposta

A integral dupla é igual a .

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