Calcule , onde é o conjunto dado.
b) ;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definido por e . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer os limites de integração. Como varia de a e, para cada , varia de até , nossa integral dupla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a :

Passo 5

Vamos expandir e calcular a integral:

Passo 6

Agora, calculamos nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices e .
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;

Exercício 23: Calcule.

b) onde ;
Inverta a ordem de integração.
c) .
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de , de e de .

Exercício 23: Calcule.

c) onde é o conjunto Resp.: