Calcule
, onde
é o conjunto dado.
b)
;
b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, onde
é definido por
e
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer os limites de integração. Como
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
, nossa integral dupla fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a
:
Passo 5
Vamos expandir e calcular a integral:
Passo 6
Agora, calculamos nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices
e
.
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;
a)
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de
Exercício 23: Calcule.
b)
onde
;
Inverta a ordem de integração.
c) .
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de , de
e de
.
c)
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de
Exercício 23: Calcule.
c)
onde
é o conjunto
Resp.: