Exercício 23: Calcule.
b)
onde
;
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é definida por
. Isso significa que estamos lidando com uma região anelar (uma espécie de rosquinha) no plano. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares ou anelares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
e
. Além disso, a área diferencial
se transforma em
. Então, a função que queremos integrar,
, se torna
porque
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. A região
vai de
até
(já que
implica
) e
vai de
até
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Então, a integral dupla fica assim:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa em
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Exercício 23: Calcule.
a)
onde
é o círculo
Resp.:
Inverta a ordem de integração.
b)
b)
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices
e
.
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;
a)
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
b) ;
b)