Exercício 23: Calcule.

b) onde ;

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por . Isso significa que estamos lidando com uma região anelar (uma espécie de rosquinha) no plano. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares ou anelares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e . Além disso, a área diferencial se transforma em . Então, a função que queremos integrar, , se torna porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. A região vai de até (já que implica ) e vai de até para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Então, a integral dupla fica assim:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa em :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Exercício 23: Calcule.

a) onde é o círculo Resp.:
Inverta a ordem de integração.
b)
Calcule , onde é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices e .
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;
Calcule , onde é o conjunto dado.
b) ;