Exercício 23: Calcule.

b) integral duplaB x^2+y^2 d x d y onde B=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4;

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por . Isso significa que estamos lidando com uma região anelar (uma espécie de rosquinha) no plano. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares ou anelares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e . Além disso, a área diferencial se transforma em . Então, a função que queremos integrar, , se torna porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. A região vai de até (já que implica ) e vai de até para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Então, a integral dupla fica assim:
integral duplaB (x^2 + y^2),dx,dy = integral0^2pi integral1^2 r^2 cdot r,dr,dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral1^2 r^3,dr,dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral1^2 r^3,dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa em integral0^2pi 154,dtheta = 154 cdot [ theta ]0^2pi = 154 cdot 2pi = 152 pi :

Resposta

A integral vale .

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