Exercício 23: Calcule.

c) onde é o conjunto Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definida por . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e, provavelmente, uma mudança de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação descreve uma elipse. Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipse em um círculo. Vamos definir novas variáveis:
Com essa substituição, a desigualdade fica:
Agora, a região está representada por um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos das novas variáveis e . Como , temos:
Também, precisamos calcular o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado por:
Portanto, .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, é mais fácil usar coordenadas polares, onde:
E o elemento de área se torna . A integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a parte interna da integral, envolvendo :
Substituindo na integral:

Passo 7

Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
c) .
Dica do item c): Aqui a região será decomposta em três partes, de , de e de .
Calcule , onde é o conjunto dado.
b) ;
Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
Resolva a equação de Bernoulli quando e quando . Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução linearmente independente da primeira:
b.