Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definida por . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e, provavelmente, uma mudança de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A equação descreve uma elipse. Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipse em um círculo. Vamos definir novas variáveis:
Com essa substituição, a desigualdade fica:
Agora, a região está representada por um círculo de raio 1 no plano .
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos das novas variáveis e . Como , temos:
Também, precisamos calcular o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado por:
Portanto, .
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaB x^2 , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^24 times 12 , du , dv = 18 integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^2 , du , dv
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral u = r cos theta e v = r sin theta . Para isso, é mais fácil usar coordenadas polares, onde:
18 integral0^2pi integral0^1 (r cos theta)^2 times r , dr , dtheta = 18 integral0^2pi cos^2 theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
E o elemento de área se torna . A integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a parte interna da integral, envolvendo integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :