Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definida por . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e, provavelmente, uma mudança de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região u = 2x e v = y . A equação u^2 + v^2 <= 1 descreve uma elipse. Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma essa elipse em um círculo. Vamos definir novas variáveis:
Com essa substituição, a desigualdade fica:
Agora, a região está representada por um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Agora, precisamos expressar x = u2 e x^2 = ( u2 )^2 = u^24 em termos das novas variáveis J = partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 0 0 & 1 = 12 times 1 - 0 times 0 = 12 e . Como , temos:
Também, precisamos calcular o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado por:
Portanto, .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaB x^2 , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^24 times 12 , du , dv = 18 integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^2 , du , dv

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral u = r cos theta e v = r sin theta . Para isso, é mais fácil usar coordenadas polares, onde:
18 integral0^2pi integral0^1 (r cos theta)^2 times r , dr , dtheta = 18 integral0^2pi cos^2 theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
E o elemento de área se torna . A integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a parte interna da integral, envolvendo integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
18 times 14 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = 132 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 7

Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Portanto:
132 times pi = pi32

Resposta

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