Represente geometricamente o campo vetorial dado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar geometricamente o campo vetorial . Isso envolve conceitos de álgebra vetorial e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como vetores funcionam em um plano e como representar isso visualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o vetor . Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que, para cada ponto , o vetor tem componentes na direção x e na direção y.

Passo 3

Vamos entender o que isso significa geometricamente. Se pegarmos um ponto qualquer, por exemplo, , o vetor será , apontando para cima. Já no ponto , teremos , apontando para a esquerda. Isso já nos dá uma ideia de que os vetores giram ao redor da origem.

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos pensar em coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Isso pode ser reescrito como:
onde é o vetor unitário na direção angular. Isso mostra que os vetores estão sempre tangentes a círculos centrados na origem, indicando um campo circular.

Passo 5

Então, geometricamente, cada vetor está perpendicular ao raio que vai da origem até o ponto e tem direção contrária ao sentido horário. Isso significa que se você desenhar vários vetores em diferentes pontos do plano, eles formarão círculos concêntricos girando no sentido horário ao redor da origem.

Resposta

Geometricamente, o campo vetorial consiste em vetores que formam círculos concêntricos centrados na origem, com direção de rotação no sentido horário.

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