Calcule integral duplaB y ln xx d x d y onde B=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2,-1 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaB y ln xx , dx , dy, onde a região B é definida por 1 <= x <= 2 e -1 <= y <= 1. Vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e entender como lidar com a função que está sendo integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B. Ela está delimitada por x entre 1 e 2, e y entre -1 e 1. Isso forma um retângulo no plano xy. Com isso, podemos decidir a ordem de integração. Vamos começar integrando em relação a y e depois em relação a x.

Passo 3

A integral que vamos resolver é:
integral duplaB y ln xx , dx , dy = integral1^2 integral-1^1 y ln xx , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 4

Agora, vamos focar na integral interna, que é em relação a y:
integral-1^1 y ln xx , dy
Perceba que ln xx é constante em relação a y, então podemos tirar essa parte da integral:
ln xx integral-1^1 y , dy

Passo 5

Calculando a integral de y:
integral-1^1 y , dy = [ y^22 ]-1^1 = (1)^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0

Passo 6

Como a integral interna deu zero, toda a integral dupla será zero multiplicada por ln xx, que ainda resulta em zero. Portanto:
integral duplaB y ln xx , dx , dy = 0

Resposta

A integral dupla integral duplaB y ln xx , dx , dy é igual a 0.

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