Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício que pergunta se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos descobrir para onde ela converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e teorema do sanduíche (também conhecido como teorema da comparação).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima cada vez mais de um certo número à medida que cresce. Esse número é chamado de limite da sequência.

Passo 3

Agora, vejamos a sequência . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja, .

Passo 4

Elevando o seno ao cubo, temos que também estará entre -1 e 1, pois se multiplicarmos um número entre -1 e 1 por ele mesmo três vezes, o resultado continua nesse intervalo. Portanto:

Passo 5

Dividindo todos os lados da desigualdade por (que é positivo para ), obtemos:
Ou seja:

Passo 6

Sabemos que quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto, tanto quanto se aproximam de 0.

Passo 7

Aplicando o teorema do sanduíche, que diz que se uma sequência está “presa” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então ela também converge para esse limite. Como está entre e , e ambos tendem a 0, concluímos que também tende a 0.

Resposta

A sequência é convergente e converge para 0.

Exercícios relacionados

Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries: .
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries: .
Calcule onde .
Resolver as equações a seguir.
(a)