Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
.
Passo 1
Ok, vamos resolver o exercício que pergunta se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos descobrir para onde ela converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e teorema do sanduíche (também conhecido como teorema da comparação).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima cada vez mais de um certo número à medida que
cresce. Esse número é chamado de limite da sequência.
Passo 3
Agora, vejamos a sequência
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja,
.
Passo 4
Elevando o seno ao cubo, temos que
também estará entre -1 e 1, pois se multiplicarmos um número entre -1 e 1 por ele mesmo três vezes, o resultado continua nesse intervalo. Portanto:
Passo 5
Dividindo todos os lados da desigualdade por
(que é positivo para
), obtemos:
Ou seja:
Passo 6
Sabemos que quando
tende ao infinito,
tende a 0. Portanto, tanto
quanto
se aproximam de 0.
Passo 7
Aplicando o teorema do sanduíche, que diz que se uma sequência está “presa” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então ela também converge para esse limite. Como
está entre
e
, e ambos tendem a 0, concluímos que
também tende a 0.
Resposta
A sequência
é convergente e converge para 0.
Exercícios relacionados
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
.
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
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Calcule
onde
.
Resolver as equações a seguir.
(a)
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