Considere o sistema de equações lineares:
Resolva o sistema utilizando decomposição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a decomposição . Basicamente, a gente tem uma matriz de coeficientes e queremos quebrar ela em duas matrizes, (inferior) e (superior), para facilitar a resolução do sistema. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz e aplicar alguns conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes e o vetor de constantes do sistema:
Nossa meta é encontrar matrizes e tais que , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar decompondo a matriz . Inicialmente, definimos como uma cópia de e como a matriz identidade:

Passo 4

Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição ). Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Atualizamos e registramos o multiplicador em :

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 4 na posição ). Dividimos a terceira linha por e subtraímos:
Atualizamos e registramos o multiplicador em :

Passo 6

Agora que temos , vamos resolver o sistema . Primeiro, resolvemos usando substituição direta:
Resolvendo:
Então, .

Passo 7

Agora, resolvemos usando substituição retroativa:
Resolvendo de baixo para cima:

Resposta

A solução do sistema é:

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Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas e .
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