Considere o sistema de equações lineares:
[ccc 1 & 1 & 0 1 & 5 & 0 0 & -6 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[c 1 5 -5 ]
Resolva o sistema utilizando decomposição L U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a decomposição . Basicamente, a gente tem uma matriz de coeficientes e queremos quebrar ela em duas matrizes, (inferior) e (superior), para facilitar a resolução do sistema. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz e aplicar alguns conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes A = 1 & 1 & 0 1 & 5 & 0 0 & -6 & 1 , b = 1 5 -5 e o vetor de constantes do sistema:
Nossa meta é encontrar matrizes e tais que , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar decompondo a matriz U = 1 & 1 & 0 1 & 5 & 0 0 & -6 & 1 , L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Inicialmente, definimos como uma cópia de e como a matriz identidade:

Passo 4

Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição Mu). Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:
U = 1 & 1 & 0 0 & 4 & 0 0 & -6 & 1 , L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Atualizamos e registramos o multiplicador em :

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 4 na posição Mu). Dividimos a terceira linha por U = 1 & 1 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & -1.5 & 1 e subtraímos:
Atualizamos e registramos o multiplicador em :

Passo 6

Agora que temos y1 = 1 y1 + y2 = 5 -1.5y2 + y3 = -5 , vamos resolver o sistema y1 = 1 1 + y2 = 5 Rightarrow y2 = 4 -1.5 times 4 + y3 = -5 Rightarrow y3 = 1 . Primeiro, resolvemos 1 4 1 usando substituição direta:
Resolvendo:
Então, .

Passo 7

Agora, resolvemos 1x1 + 1x2 + 0x3 = 1 0x1 + 4x2 + 0x3 = 4 0x1 + 0x2 + 1x3 = 1 usando substituição retroativa:
x3 = 1 4x2 = 4 Rightarrow x2 = 1 x1 + 1 times 1 = 1 Rightarrow x1 = 0
Resolvendo de baixo para cima:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0 1 1

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