Determine (se existir) o limite de cada função abaixo. lim x 0 raiz3 x+4-raizx+4raizx+1-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com funções de radicais e limites. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar técnicas de racionalização, que ajudam a eliminar as raízes do denominador e do numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: raiz3x + 4 - raizx + 4raizx + 1 - 1 times raiz3x + 4 + raizx + 4raiz3x + 4 + raizx + 4 . Para simplificar expressões com radicais, multiplicamos e dividimos pela conjugada. A conjugada de é .
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:

Passo 3

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raiz3x + 4)^2 - (raizx + 4)^2 = (3x + 4) - (x + 4) = 2x
Então, o numerador simplifica para , e o denominador fica .

Passo 4

Agora, focamos no denominador original: raizx + 1 - 1 = (raizx + 1 - 1)(raizx + 1 + 1)raizx + 1 + 1 = (x + 1) - 1raizx + 1 + 1 = xraizx + 1 + 1 . Vamos racionalizar esse termo multiplicando e dividindo pela sua conjugada :
Portanto, .

Passo 5

Substituindo essa expressão de volta no denominador original, temos:
2x(xraizx + 1 + 1)(raiz3x + 4 + raizx + 4) = 2xx (raiz3x + 4 + raizx + 4)raizx + 1 + 1 = 2 (raizx + 1 + 1)raiz3x + 4 + raizx + 4

Passo 6

Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o lim x 0 2 (raizx + 1 + 1)raiz3x + 4 + raizx + 4 = 2 (raiz0 + 1 + 1)raiz3(0) + 4 + raiz0 + 4 = 2 (1 + 1)raiz4 + raiz4 = 42 + 2 = 44 = 1 e substituindo por 0:

Resposta

O limite é igual a .

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