Calcule integral duplaD ln (1+x^2+y^2) d x d y, onde D é o conjunto limitado pela circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente precisa calcular , onde é a região dentro da circunferência . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a região é um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Também, a área em coordenadas polares vira . Isso é importante porque transforma nossa integral dupla em uma forma mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos então reescrever a integral em coordenadas polares. A expressão integral duplaD ln (1+x^2+y^2) , dx , dy = integral0^2pi integral0^1 ln(1 + r^2) cdot r , dr , dtheta transforma-se em , já que . A região , que é a circunferência de raio 1, significa que varia de 0 a 1 e varia de 0 a . Então, a nossa integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 ln(1 + r^2) cdot r , dr :
12 integral1^2 ln(u) , du
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja . Então, , ou seja, . Quando , , e quando , . A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C em relação a 12 [ 2 ln(2) - 2 - (1 cdot ln(1) - 1) ] = 12 [ 2 ln(2) - 2 - (0 - 1) ] = 12 (2 ln(2) - 1) = ln(2) - 12 é:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^2pi ( ln(2) - 12 ) dtheta :
( ln(2) - 12 ) integral0^2pi dtheta = ( ln(2) - 12 ) cdot 2pi = 2pi ln(2) - pi
Como é constante em relação a , a integral simplifica para:

Resposta

A integral dupla vale .

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