Calcule
, onde
é o conjunto limitado pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente precisa calcular
, onde
é a região dentro da circunferência
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a região
é um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Também, a área
em coordenadas polares vira
. Isso é importante porque transforma nossa integral dupla em uma forma mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos então reescrever a integral em coordenadas polares. A expressão
transforma-se em
, já que
. A região
, que é a circunferência de raio 1, significa que
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
. Então, a nossa integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja
. Então,
, ou seja,
. Quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral simplifica para:
Resposta
A integral dupla vale
.