Calcule
, onde
é a quarta parte, localizada no primeiro quadrante, do anel circular limitado pelos círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. A região
é a quarta parte de um anel circular no primeiro quadrante, limitada pelos círculos
e
. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para áreas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
vira
.
Passo 3
Como a região
está no primeiro quadrante, os ângulos
vão de
a
. O raio
varia de
a
(já que os círculos têm
e
).
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiramente em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Avaliado de
a
:
Resposta
Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
h)
h)
Calcule
, onde
é o conjunto limitado pela circunferência
.
Calcule os limites indicados:
b)
b)
Calcule
, onde
é o conjunto limitado pelas retas
e
.