Calcule integral duplaD[x+y] d x d y, onde D é a quarta parte, localizada no primeiro quadrante, do anel circular limitado pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A região é a quarta parte de um anel circular no primeiro quadrante, limitada pelos círculos e . Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos:
x = r costheta
y = r sintheta
E o elemento de área vira .

Passo 3

Como a região está no primeiro quadrante, os ângulos vão de a . O raio varia de a (já que os círculos têm e ).

Passo 4

Vamos reescrever a função x + y = r costheta + r sintheta = r (costheta + sintheta) em coordenadas polares:
integral duplaD [x + y] , dx , dy = integral0^pi2 integral1^2 r (costheta + sintheta) cdot r , dr , dtheta
Então, a integral fica:
= integral0^pi2 integral1^2 r^2 (costheta + sintheta) , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar primeiramente em relação a integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73 :
73 integral0^pi2 (costheta + sintheta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral (costheta + sintheta) , dtheta = sintheta - costheta :
[ sintheta - costheta ]0^pi2 = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2
Avaliado de a :

Resposta

Multiplicando os resultados:
73 times 2 = 143
Então, o valor da integral é .

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