Calcule , onde é a quarta parte, localizada no primeiro quadrante, do anel circular limitado pelos círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A região é a quarta parte de um anel circular no primeiro quadrante, limitada pelos círculos e . Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área vira .

Passo 3

Como a região está no primeiro quadrante, os ângulos vão de a . O raio varia de a (já que os círculos têm e ).

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas polares:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar primeiramente em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Avaliado de a :

Resposta

Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
h)
Calcule , onde é o conjunto limitado pela circunferência .
Calcule os limites indicados:
b)
Calcule , onde é o conjunto limitado pelas retas e .