Calcule integral duplaD x^2 y^2 d x d y, onde D é o conjunto limitado pelas hipérboles x y=1, x y=2 e las retas y=x / 2 e y=3 x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla integral duplaD x^2 y^2 , dx , dy, onde a região D é delimitada pelas hipérboles x y=1, x y=2 e pelas retas y=x2 e y=3x. Para resolver isso, vamos precisar usar mudanças de variáveis e entender como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. As hipérboles x y=1 e x y=2 são curvas que se estendem no plano, e as retas y=x2 e y=3x cortam essas hipérboles. Essa interseção forma uma área específica onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir u = x y e v = yx. Essa transformação simplifica as equações das curvas que delimitam D.

Passo 4

Com u = x y e v = yx, precisamos expressar x e y em termos de u e v. A partir de v = yx, temos y = v x. Substituindo na equação de u, temos:
u = x (v x) = v x^2 Rightarrow x = raizuv
E, portanto,
y = v raizuv = raizu v

Passo 5

Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a mudar as variáveis na integral. O Jacobiano J é dado por:
J = | partial(x, y)partial(u, v) | = 12v

Passo 6

Com a mudança de variáveis, a integral original fica:
integral duplaD x^2 y^2 , dx , dy = integral duplaD' x^2 y^2 cdot J , du , dv
Substituindo x e y em termos de u e v:
x^2 y^2 = ( uv ) (u v) = u^2
Então, a integral fica:
integral duplaD' u^22v , du , dv

Passo 7

Agora, determinamos os limites de integração para u e v. As hipérboles x y=1 e x y=2 se tornam u=1 e u=2. As retas y=x2 e y=3x se tornam v=12 e v=3.

Passo 8

Então, a integral se transforma em:
integral12^3 integral1^2 u^22v , du , dv
Vamos resolver a integral interna em u primeiro:
integral1^2 u^22v , du = 12v [ u^33 ]1^2 = 12v ( 83 - 13 ) = 76v

Passo 9

Agora, integramos em v:
integral12^3 76v , dv = 76 integral12^3 1v , dv = 76 [ ln v ]12^3 = 76 (ln 3 - ln 12) = 76 (ln 3 + ln 2) = 76 ln 6

Resposta

A integral vale 76 ln 6.

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