Calcule , onde é o conjunto limitado pelas hipérboles e las retas e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas hipérboles , e pelas retas e . Para resolver isso, vamos precisar usar mudanças de variáveis e entender como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As hipérboles e são curvas que se estendem no plano, e as retas e cortam essas hipérboles. Essa interseção forma uma área específica onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir e . Essa transformação simplifica as equações das curvas que delimitam .

Passo 4

Com e , precisamos expressar e em termos de e . A partir de , temos . Substituindo na equação de , temos:
E, portanto,

Passo 5

Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado por:

Passo 6

Com a mudança de variáveis, a integral original fica:
Substituindo e em termos de e :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, determinamos os limites de integração para e . As hipérboles e se tornam e . As retas e se tornam e .

Passo 8

Então, a integral se transforma em:
Vamos resolver a integral interna em primeiro:

Passo 9

Agora, integramos em :

Resposta

A integral vale .

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Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
e)
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
a)
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
f)
Calcule , onde é o conjunto limitado pela circunferência .