Calcule , onde é o conjunto limitado pelas hipérboles e las retas e .
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas hipérboles , e pelas retas e . Para resolver isso, vamos precisar usar mudanças de variáveis e entender como determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . As hipérboles e são curvas que se estendem no plano, e as retas e cortam essas hipérboles. Essa interseção forma uma área específica onde vamos calcular a integral.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir e . Essa transformação simplifica as equações das curvas que delimitam .
Passo 4
Com e , precisamos expressar e em termos de e . A partir de , temos . Substituindo na equação de , temos:
E, portanto,
Passo 5
Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado por:
Passo 6
Com a mudança de variáveis, a integral original fica:
Substituindo e em termos de e :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, determinamos os limites de integração para e . As hipérboles e se tornam e . As retas e se tornam e .